Problema 204

Calcula la distancia entre las rectas r y s:

r:~x=y=z

s:~x-1=y-2=z-3


Solución:

Primero escribimos los vectores directores de ambas rectas: \vec v_r=(1,1,1) y \vec v_s=(1,1,1). Como ambos vectores son proporcionales las dos rectas pueden ser coincidentes o paralelas.

Por otra parte, vemos que la recta r pasa por el punto P_r=(0,0,0). Ese punto no está dentro de la recta s pues no verifica su ecuación continua:

0-1=0-2=0-3 es falso. Luego P_r no está dentro de la recta s y por tanto, no pueden ser coincidentes. Las rectas r y s son paralelas.

La distancia entre dos rectas paralelas es:

\boxed{d(r,s)=\dfrac{|\overrightarrow{P_rP_s}\times\vec v_s|}{|\vec v_s|}}

donde P_s es un punto cualquiera de la recta s, por ejemplo: P_s=(1,2,3).

\overrightarrow{P_rP_s}=(1,2,3)-(0,0,0)=(1,2,3)

\overrightarrow{P_rP_s}\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&2&3\\1&1&1\end{vmatrix}=-\vec\imath+2\vec\jmath-\vec k=(-1,2,-1)

Luego:

d(r,s)=\dfrac{|\overrightarrow{P_rP_s}\times\vec v_s|}{|\vec v_s|}=\dfrac{\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2}}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{\sqrt 6}{\sqrt 3}=\sqrt 2\mbox{ u.l.}

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