Problema 205

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x^3+ax^2+bx+c. Se sabe que un punto de inflexión de la gráfica de f tiene abscisa x=1 y que f tiene un mínimo relativo en x=2 de valor -9. Calcula a, b y c.


Solución:

Sabemos que f tiene un punto de inflexión en x=1, lo cual quiere decir que f''(1)=0. Tiene un mínimo relativo en x=2, lo que significa que f'(2)=0. Por último, f toma el valor de -9 para x=2, lo que se traduce en que f(2)=-9.

Tenemos ya tres ecuaciones para obtener los valores de las tres incógnitas:

\bullet f(x)=x^3+ax^2+bx+c\\\\\longrightarrow f(2)=2^3+a\cdot 2^2+b\cdot 2+c=8+4a+2b+c=-9\\\\\bullet f'(x)=3x^2+2ax+b\\\\\longrightarrow f'(2)=3\cdot 2^2+2a\cdot 2+b=12+4a+b=0\\\\\bullet f''(x)=6x+2a\\\\\longrightarrow f''(1)=6\cdot 1+2a=6+2a=0

\left\{\begin{array}{l}4a+2b+c=-17\\4a+b=-12\\2a=-6\end{array}\right.

Sistema cuya solución es: \mathbf{a=-3,\,b=0,\,c=-5}.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s