Problema 206

Calcula \displaystyle \int_2^4\frac{x^2}{x^2-6x+5}~dx.


Solución:

Primero calcularemos esta integral como si fuera indefinida.

\displaystyle \int\frac{x^2}{x^2-6x+5}~dx

Esta integral es racional. Como el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador comenzamos por descomponer la fracción en la forma:

\boxed{\dfrac{\mbox{numerador}}{\mbox{denominador}}=\mbox{cociente}+\dfrac{\mbox{resto}}{\mbox{denominador}}}

\dfrac{x^2}{x^2-6x+5}=1+\dfrac{6x-5}{x^2-6x+5}

La segunda fracción tiene por denominador un polinomio de segundo grado cuyas raíces son x=1 y x=5. Descomponemos dicha fracción del siguiente modo:

\dfrac{6x-5}{x^2-6x+5}=\dfrac A{x-1}+\dfrac B{x-5}=\dfrac{A(x-5)+B(x-1)}{(x-1)(x-5)}

En la ecuación anterior se cumple que:

6x-5=A(x-5)+B(x-1)

Para obtener los valores de A y B, damos valores arbitrarios a x:

  • Para x=1\longrightarrow 1=-4A\longrightarrow A=-1/4
  • Para x=5\longrightarrow 25=4B\longrightarrow B=25/4

De esta forma, ya podemos calcular la integral:

\displaystyle \int\frac{x^2}{x^2-6x+5}~dx=\int 1+\frac{6x-5}{x^2-6x+5}~dx=\\\\=\int 1~dx+\int\frac{-1/4}{x-1}~dx+\int\frac{25/4}{x-5}~dx=\\\\=x-\frac 14\ln|x-1|+\frac{25}4\ln|x-5|+k

Podemos resolver ahora la integral definida:

\displaystyle \int_2^4\frac{x^2}{x^2-6x+5}~dx=\left[x-\frac 14\ln|x-1|+\frac{25}4\ln|x-5|\right]_2^4=\\\\=\left(4-\frac 14\ln 3+\frac{25}4\ln 1\right)-\left(2-\frac 14\ln 1+\frac{25}4\ln 3\right)=\\\\=2-\frac 14\ln 3-\frac{25}4\ln 3=2-\frac{13}2\ln 3

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