Problema 207

Sabiendo que el determinante de una matriz A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\p&q&r\end{pmatrix} es 4, calcula los siguientes determinantes indicando, en cada caso, las propiedades que utilizas:

\mbox{a) }|-2A|,~|A^{-1}|.

\mbox{b) }\begin{vmatrix}a&-b&c\\2d&-2e&2f\\p&-q&r\end{vmatrix},~\begin{vmatrix}-3d&-3e&-3f\\a&b&c\\-p&-q&-r\end{vmatrix}


Solución:

a) Para calcular los siguientes determinantes utilizaremos las propiedades de los determinantes.

\bullet|-2A|\overset{P.6}=(-2)^3|A|=-8\cdot 4=-32

\bullet|A^{-1}|\overset{P.4}=\dfrac 1{|A|}=\dfrac 14


b) En este apartado también utilizamos las propiedades de los determinantes:

\bullet\begin{vmatrix}a&-b&c\\2d&-2e&2f\\p&-q&r\end{vmatrix}\overset{P.6}=2\begin{vmatrix}a&-b&c\\d&-e&f\\p&-q&r\end{vmatrix}\overset{P.6}=-2\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\p&q&r\end{vmatrix}=-2\cdot 4=-8

\bullet\begin{vmatrix}-3d&-3e&-3f\\a&b&c\\-p&-q&-r\end{vmatrix}\overset{P.6}=-3\begin{vmatrix}d&e&f\\a&b&c\\-p&-q&-r\end{vmatrix}=\\\\\overset{P.6}=3\begin{vmatrix}d&e&f\\a&b&c\\p&q&r\end{vmatrix}\overset{P.5}=-3\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\p&q&r\end{vmatrix}=-3\cdot 4=-12

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