Problema 208

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera las rectas

r\equiv x=y=z\quad s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=1\end{array}\right.\quad t\equiv\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=3\lambda\\z=-1+\lambda\end{array}\right.

Halla la recta que corta a r y a s y es paralela a t.

Solución:

Escribimos las rectas r y s en paramétricas:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=\alpha\\y=\alpha\\z=\alpha\end{array}\right.

Para obtener las ecuaciones paramétricas de s hacemos el cambio z=β:

s\equiv\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=1\\z=\beta\end{array}\right.

Un punto genérico de r sería P_r=(\alpha,\alpha,\alpha) y de s, P_s=(2,1,\beta).

Calculamos el vector que une ambos puntos genéricos:

\overrightarrow{P_rP_s}=(2,1,\beta)-(\alpha,\alpha,\alpha)=(2-\alpha,1-\alpha,\beta-\alpha)

Imponemos que este vector sea paralelo al vector director de t, \vec v_t=(2,3,1):

\dfrac{2-\alpha}2=\dfrac{1-\alpha}3=\beta-\alpha

Lo cual da lugar a dos ecuaciones:

\left\{\begin{array}{l}\dfrac{2-\alpha}2=\dfrac{1-\alpha}3\\\dfrac{1-\alpha}3=\beta-\alpha\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{l}3(2-\alpha)=2(1-\alpha)\\1-\alpha=3(\beta-\alpha)\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{l}6-3\alpha=2-2\alpha\\1-\alpha=3\beta-3\alpha\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{l}4=\alpha\\1=3\beta-2\alpha\end{array}\right.

Sistema cuya solución es α=4 y β=3. Con estos valores de α y β calculamos el punto P_r por donde pasa la recta h buscada.

La recta h buscada pasará por P_r=(4,4,4) y tiene por vector director \vec v_h=\vec v_t=(2,3,1):

h\equiv\left\{\begin{array}{l}x=4+2\gamma\\y=4+3\gamma\\z=4+\gamma\end{array}\right.

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