Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto.

Solución:

Se trata de un triángulo de base 6 metros y de altura 4 metros. El rectángulo cuyo área debemos maximizar tiene dimensiones .

Maximizar el área del rectángulo inscrito en el triángulo entero implica maximizar el área del rectángulo inscrito en la mitad del triángulo, por eso nos vamos a fijar en la figura que representa la mitad del triángulo.

El vértice O tiene coordenadas (0,0) y el vértice P(3,4). La recta que pasa por ambos puntos tiene por ecuación .

Hemos de optimizar el área del rectángulo con dimensiones . Dicho área es:

donde ya que el rectángulo tiene un vértice en la recta antes definida, por tanto, el área es:

Obtenemos los puntos críticos de esta función:

Por último, aplicamos el test de la derivada segunda para comprobar si efectivamente se trata de un máximo:

Es un resultado negativo para todo x y en particular para x=3/2, luego se trata de un máximo.

Nos queda solo determinar las dimensiones del rectángulo completo. Sabemos que:

En resumen, a=3, b=2.

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