Problema 209

Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto.


Solución:

Se trata de un triángulo de base 6 metros y de altura 4 metros. El rectángulo cuyo área debemos maximizar tiene dimensiones a\times b.

p209a

p209b

Maximizar el área del rectángulo inscrito en el triángulo entero implica maximizar el área del rectángulo inscrito en la mitad del triángulo, por eso nos vamos a fijar en la figura que representa la mitad del triángulo.

El vértice O tiene coordenadas (0,0) y el vértice P(3,4). La recta que pasa por ambos puntos tiene por ecuación y=\dfrac 43x.

Hemos de optimizar el área del rectángulo con dimensiones (3-x)\times y. Dicho área es:

A(x,y)=(3-x)\cdot y

donde y=\dfrac 43x ya que el rectángulo tiene un vértice en la recta antes definida, por tanto, el área es:

A(x)=(3-x)\dfrac 43x=\dfrac{12x-4x^2}3

Obtenemos los puntos críticos de esta función:

A'(x)=\dfrac{12-8x}3=0\\\\x=\dfrac{12}8=\dfrac 32

Por último, aplicamos el test de la derivada segunda para comprobar si efectivamente se trata de un máximo:

A''(x)=\dfrac{-8}3

Es un resultado negativo para todo x y en particular para x=3/2, luego se trata de un máximo.

Nos queda solo determinar las dimensiones del rectángulo completo. Sabemos que:

6=a+2x\rightarrow a=6-2x=6-2\cdot\dfrac 32=3\\\\b=y=\dfrac 43x=\dfrac 43\dfrac 32=2

En resumen, a=3, b=2.

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