Problema 209

Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto.

Solución:

Se trata de un triángulo de base 6 metros y de altura 4 metros. El rectángulo cuyo área debemos maximizar tiene dimensiones $a\times b$ .

p209a

p209b

Maximizar el área del rectángulo inscrito en el triángulo entero implica maximizar el área del rectángulo inscrito en la mitad del triángulo, por eso nos vamos a fijar en la figura que representa la mitad del triángulo.

El vértice O tiene coordenadas (0,0) y el vértice P(3,4). La recta que pasa por ambos puntos tiene por ecuación $y=\dfrac 43x$ .

Hemos de optimizar el área del rectángulo con dimensiones $(3-x)\times y$ . Dicho área es:

$A(x,y)=(3-x)\cdot y$

donde $y=\dfrac 43x$ ya que el rectángulo tiene un vértice en la recta antes definida, por tanto, el área es:

$A(x)=(3-x)\dfrac 43x=\dfrac{12x-4x^2}3$

Obtenemos los puntos críticos de esta función:

$A'(x)=\dfrac{12-8x}3=0\\\\x=\dfrac{12}8=\dfrac 32$

Por último, aplicamos el test de la derivada segunda para comprobar si efectivamente se trata de un máximo:

$A''(x)=\dfrac{-8}3$

Es un resultado negativo para todo x y en particular para x=3/2, luego se trata de un máximo.

Nos queda solo determinar las dimensiones del rectángulo completo. Sabemos que:

$6=a+2x\rightarrow a=6-2x=6-2\cdot\dfrac 32=3\\\\b=y=\dfrac 43x=\dfrac 43\dfrac 32=2$

En resumen, a=3, b=2.

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Problema 209

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