Problema 210

Sean f y g las funciones definidas por f(x)=2-x y g(x)=\dfrac 2{x+1} para x≠-1.

a) Calcula los puntos de corte entre las gráficas de f y g.

b) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes.

c) Halla el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.


Solución:

a) Para calcular los puntos donde se cortan dos funciones, se igualan sus funciones y se resuelve:

2-x=\dfrac 2{x+1}\\\\(2-x)(x+1)=2\\\\2x+2-x^2-x=2\\\\-x^2+x=0\\\\x(-x+1)=0

Ecuación cuyas soluciones son x=0 y x=1. Los puntos donde se cortan ambas funciones son (0,2) y (1,1).


b) La función f(x)=2-x es una función lineal cuya representación gráfica es una recta. Esta recta pasa por los puntos (0,2) y (2,0).

La función g(x)=\dfrac 2{x+1} es una función de proporcionalidad inversa cuya gráfica es una hipérbola. Tiene por asíntota vertical la recta x=-1 y por asíntota horizontal la recta y=0. Pasa por el punto (1,1) por lo que ésta hipérbola ocupa los cuadrantes primero y tercero con respecto a sus asíntotas.

Con estos datos podríamos obtener un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

p210


c) El área del recinto limitado por ambas gráficas es:

\displaystyle \int_0^12-x-\frac 2{x+1}~dx=\left[2x-\frac{x^2}2-2\ln|x+1|\right]_0^1=\\\\=\left(2-\frac 12-2\ln 2\right)-(0)=\frac{4-1-4\ln 2}2=\frac{3-4\ln 2}2\mbox{ u.a.}

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