Problema 211

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales,

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&+&z&=&0\\x&-&y&+&mz&=&m-2\\mx&+&y&+&3z&=&m-2\end{array}\right.

a) Discute el sistema según los valores del parámetro m.

b) Resuélvelo, si es posible, para m=2.


Solución:

a) Para discutir el sistema de ecuaciones utilizaremos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y la ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&-1&m\\m&1&3\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\1&-1&m&m-2\\m&1&3&m-2\end{pmatrix}

Calculemos el rango de la matriz de coeficientes:

\begin{vmatrix}1&2&1\\1&-1&m\\m&1&3\end{vmatrix}=-3+2m^2+1+m-6-m=2m^2-8

Determinante cuyas raíces son: m=2 y m=-2. Por tanto:

  • Si m≠2 y m≠-2 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si m=2, la matriz de coeficientes es: M=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&-1&2\\2&1&3\end{pmatrix} y su rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\1&-1\end{vmatrix}\neq 0. Ahora veamos cual es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&2&0\\1&-1&0\\2&1&0\end{vmatrix}=0, por lo que el rg(M*)=2, y el sistema es compatible indeterminado.

  • Si m=-2, la matriz de coeficientes es: M=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&-1&-2\\-2&1&3\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\1&-1\end{vmatrix}\neq 0. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&2&0\\1&-1&-4\\-2&1&-4\end{vmatrix}=4+16+8+4\neq0, su rango es 3, y el sistema es incompatible.


b) Para m=2, el sistema tiene solo dos ecuaciones linealmente independientes:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&+&z&=&0\\x&-&y&+&2z&=&0\end{array}\right.

Para resolverlo, hacemos el cambio z=\lambda.

\left\{\begin{array}{ccccc}x&+&2y&=&-\lambda\\x&-&y&=&-2\lambda\end{array}\right.

Si a la ecuación de arriba le restamos la de abajo resulta: 3y=\lambda de donde y=\dfrac{\lambda}3. Por último:

x=-2\lambda+y\\\\x=-2\lambda+\dfrac{\lambda}3=\dfrac{-5\lambda}3

La solución del sistema es:

\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{-5\lambda}3\\y=\dfrac{\lambda}3\\z=\lambda\end{array}\right.

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