Problema 212

Determina el punto de la recta r\equiv\dfrac{x-1}3=\dfrac y2=z+1 que equidista de los planos

\pi_1\equiv x-y+3z+2=0\qquad\mbox{y}\qquad\pi_2\equiv\left\{\begin{array}{l}x=-4+\lambda-3\mu\\y=1+\lambda\\z=\mu\end{array}\right.


Solución:

Un punto genérico de la recta r es P=(1+3\lambda,2\lambda,-1+\lambda), que se obtiene de las ecuaciones paramétricas de la misma.

La distancia desde el punto P hasta el plano \pi_1 es:

d(P,\pi_1)=\dfrac{|1+3\lambda-2\lambda+3(-1+\lambda)+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}}=\dfrac{|1+\lambda-3+3\lambda+2|}{\sqrt{11}}=\dfrac{|4\lambda|}{\sqrt{11}}

Para calcular la distancia desde el punto P hasta el plano \pi_2 primero escribimos este plano en forma implícita:

\begin{vmatrix}x+4&y-1&z\\1&1&0\\-3&0&1\end{vmatrix}=x+4+3z-y+1=x-y+3z+5

Luego \pi_2\equiv x-y+3z+5=0.

d(P,\pi_2)=\dfrac{|1+3\lambda-2\lambda+3(-1+\lambda)+5|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}}=\dfrac{|1+\lambda-3+3\lambda+5|}{\sqrt{11}}=\dfrac{|4\lambda+3|}{\sqrt{11}}

Igualamos las dos distancias y resolvemos:

\dfrac{|4\lambda|}{\sqrt{11}}=\dfrac{|4\lambda+3|}{\sqrt{11}}

\bullet~4\lambda=4\lambda+3\longrightarrow 0=3~!!!\\\\\bullet~-4\lambda=4\lambda+3\longrightarrow 8\lambda=-3\longrightarrow \lambda=\dfrac{-3}8

Sustituyendo este valore de λ en las coordenadas del punto P se obtiene el punto buscado:

P=\left(\frac{17}8,\frac{-3}4,\frac{-11}8\right)

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