Problema 213

Sea f la función definida por f(x)=xe^{1/x} para x≥-1, x≠0.

a) Calcula los límites laterales de f en x=0.

b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.


Solución:

a) Calculamos en primer lugar el límite cuando x\rightarrow 0^+:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}xe^{1/x}=0\cdot e^{+\infty}=0\cdot\infty

indeterminación que resolvemos pasando uno de los factores al denominador:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}xe^{1/x}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{e^{1/x}}{\frac 1x}=\frac{+\infty}{+\infty}

Esta indeterminación la resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{e^{1/x}}{\frac 1x}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{e^{1/x}\cdot\frac{-1}{x^2}}{\frac{-1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{1/x}=e^{+\infty}=+\infty

Ahora calculamos el límite cuando x\rightarrow 0^-:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow0^-}xe^{1/x}=0\cdot e^{-\infty}=0\cdot 0=0


b) Según se demostró en el apartado a), la función presenta una asíntota vertical de ecuación x=0. La función se aproxima asintóticamente a la recta x=0 cuando x\rightarrow 0^+. No ocurre lo mismo cuando x\rightarrow 0^- ya que en este caso la función converge al valor 0.

  • Asíntota horizontal:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}xe^{1/x}=+\infty\cdot e^0=+\infty\cdot 1=+\infty

No tiene, por tanto, asíntota horizontal.

  • Asíntota oblicua (y=mx+n):

\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{xe^{1/x}}x=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{1/x}=e^0=1

\displaystyle n=\lim_{x\rightarrow +\infty}xe^{1/x}-x=\lim_{x\rightarrow +\infty}x(e^{1/x}-1)=+\infty\cdot(e^0-1)=\underbrace{+\infty\cdot 0}_{\mbox{IND}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow +\infty}x(e^{1/x}-1)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{1/x}-1}{\frac 1x}=\frac{e^0-1}0=\underbrace{\frac 00}_{\mbox{IND}}=\\\\=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{1/x}-1}{\frac 1x}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{1/x}\cdot\frac{-1}{x^2}}{\frac{-1}{x^2}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{1/x}=e^0=1=n

La ecuación de la asíntota oblicua es y=x+1.

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