Problema 214

Calcula \displaystyle \int_2^4\frac{e^x}{1+\sqrt{e^x}}~dx.

Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable t=\sqrt{e^x}.


Solución:

Utilizamos el cambio sugerido:

t=\sqrt{e^x}\rightarrow e^x=t^2\\\\x=\ln(t^2)=2\ln t\\\\dx=\dfrac 2t~dt\\\\x=2\longrightarrow t=\sqrt{e^2}=e\\x=4\longrightarrow t=\sqrt{e^4}=e^2

La integral a resolver sería:

\displaystyle \int_2^4\frac{e^x}{1+\sqrt{e^x}}~dx=\int_e^{e^2}\frac{t^2}{1+t}~\frac 2t~dt=\int_e^{e^2}\frac{2t}{1+t}~dt

Esta última integral es racional. Hacemos la siguiente descomposición:

\boxed{\dfrac{\mbox{numerador}}{\mbox{denominador}}=\mbox{cociente}+\dfrac{\mbox{resto}}{\mbox{denominador}}}

\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{2t}{1+t}~dt=\int_e^{e^2}2+\frac{-2}{1+t}~dt=\left[2t-2\ln|1+t|\right]_e^{e^2}=\\\\=\left(2e^2-2\ln|1+e^2|\right)-\left(2e-2\ln|1+e|\right)=2e^2-2e+2\ln\left(\frac{1+e}{1+e^2}\right)

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