Problema 215

Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es 2. Calcula:

a) El rango de M³.

b) El determinante de $2M^t$ ( $M^t$ es la matriz traspuesta de M).

c) El determinante de $(M^{-1})^2$ .

d) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M.

Solución:

a) El rango de M³ es 3 ya que el determinante de M es distinto de 0.

b) Para el cálculo de determinantes hacemos uso de las propiedades de los determinantes:

$|2M^t|\overset{P.6}=2^3|M^t|\overset{P.2}=8|M|=8\cdot 2=16$

c) Hacemos uso también de las propiedades de los determinantes:

$|(M^{-1})^2|\overset{P.3}=|M^{-1}|^2\overset{P.4}=\left(\dfrac 1{|M|}\right)^2=\left(\dfrac 12\right)^2=\dfrac 14$

d) Haciendo uso de la propiedad 5 de los determinantes:

$|N|\overset{P.5}=-|M|=-2$

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