Problema 215

Sea M una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es 2. Calcula:

a) El rango de M³.

b) El determinante de 2M^t (M^t es la matriz traspuesta de M).

c) El determinante de (M^{-1})^2.

d) El determinante de N, donde N es la matriz resultante de intercambiar la primera y segunda filas de M.


Solución:

a) El rango de M³ es 3 ya que el determinante de M es distinto de 0.


b) Para el cálculo de determinantes hacemos uso de las propiedades de los determinantes:

|2M^t|\overset{P.6}=2^3|M^t|\overset{P.2}=8|M|=8\cdot 2=16


c) Hacemos uso también de las propiedades de los determinantes:

|(M^{-1})^2|\overset{P.3}=|M^{-1}|^2\overset{P.4}=\left(\dfrac 1{|M|}\right)^2=\left(\dfrac 12\right)^2=\dfrac 14


d) Haciendo uso de la propiedad 5 de los determinantes:

|N|\overset{P.5}=-|M|=-2

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