Problema 216

Considera los puntos A(0,5,3), B(-1,4,3), C(1,2,1) y D(2,3,1).

a) Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un rectángulo.

b) Calcula el área de dicho rectángulo.


Solución:

a) Con los cuatro puntos podemos formar hasta tres vectores linealmente independientes: \overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AC},\,\overrightarrow{AD}. Si los tres vectores no son linealmente independientes entonces los cuatro puntos son coplanarios.

Tres vectores no son linealmente independientes si el determinante de la matriz formada por ellos es 0:

\overrightarrow{AB}=(-1,4,3)-(0,5,3)=(-1,-1,0)\\\overrightarrow{AC}=(1,2,1)-(0,5,3)=(1,-3,-2)\\\overrightarrow{AD}=(2,3,1)-(0,5,3)=(2,-2,-2)

\begin{vmatrix}-1&-1&0\\1&-3&-2\\2&-2&-2\end{vmatrix}=-6+4-2+4=0

Por tanto, los cuatro puntos son coplanarios.

Un rectángulo es una figura plana de cuatro lados cuyos lados forman ángulos rectos.

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1,-1,0)\cdot(1,-3,-2)=-1+3\neq0\\\\\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=(2,-2,-2)\cdot(-1,-1,0)=-2+2=0

p88Es decir, los puntos BAD forman un ángulo recto en A. Si además, los vectores \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} y \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}, entonces formarán un rectángulo. En efecto:

\overrightarrow{DC}=(1,2,1)-(2,3,1)=(-1,-1,0)=\overrightarrow{AB}\\\\\overrightarrow{BC}=(1,2,1)-(-1,4,3)=(2,-2,-2)=\overrightarrow{AD}

Por tanto, los cuatro puntos forman un rectángulo.


b) El área del paralelogramo formado estos cuatro puntos es el módulo del producto vectorial de dos de sus vectores no paralelos:

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-1&-1&0\\2&-2&-2\end{vmatrix}=2\vec\imath+2\vec k+2\vec k-2\vec\jmath=(2,-2,4)

S=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{24}=2\sqrt 6\mbox{ u.a.}

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