Considera los puntos A(0,5,3), B(-1,4,3), C(1,2,1) y D(2,3,1).
a) Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que ABCD es un rectángulo.
b) Calcula el área de dicho rectángulo.
Solución:
a) Con los cuatro puntos podemos formar hasta tres vectores linealmente independientes: . Si los tres vectores no son linealmente independientes entonces los cuatro puntos son coplanarios.
Tres vectores no son linealmente independientes si el determinante de la matriz formada por ellos es 0:
Por tanto, los cuatro puntos son coplanarios.
Un rectángulo es una figura plana de cuatro lados cuyos lados forman ángulos rectos.
Es decir, los puntos BAD forman un ángulo recto en A. Si además, los vectores
y
, entonces formarán un rectángulo. En efecto:
Por tanto, los cuatro puntos forman un rectángulo.
b) El área del paralelogramo formado estos cuatro puntos es el módulo del producto vectorial de dos de sus vectores no paralelos:
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