Sea f la función definida por para x>0, x≠1 (donde ln denota el logaritmo neperiano).
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
b) Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=e.
Solución:
a) Para estudiar las asíntotas hay que tener en cuenta el dominio de definición de f, que en nuestro caso es .
Veamos si la recta x=0 es es una asíntota vertical:
Por tanto, f no tiende asintóticamente a la recta x=0. Veamos que ocurre con la recta x=1.
La recta x=1 sí es por tanto una asíntota vertical.
- Asíntota horizontal.
Indeterminación que resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:
No tiene por tanto asíntota horizontal.
- Asíntota oblicua
:
No existe asíntota oblicua a la que f se aproxime asintóticamente.
b) Las ecuaciones de las rectas tangente y normal son:
Hemos de encontrar ambas ecuaciones en el punto de abscisas :
Luego las rectas buscadas son:
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