Problema 217

Sea f la función definida por $f(x)=\dfrac{x}{\ln(x)}$ para x>0, x≠1 (donde ln denota el logaritmo neperiano).

a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.

b) Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=e.

Solución:

a) Para estudiar las asíntotas hay que tener en cuenta el dominio de definición de f, que en nuestro caso es $\mathbb R^+\setminus\{1\}$ .

Veamos si la recta x=0 es es una asíntota vertical:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{\ln(x)}=\frac{0}{-\infty}=0$

Por tanto, f no tiende asintóticamente a la recta x=0. Veamos que ocurre con la recta x=1.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{x}{\ln(x)}=\frac{1}{0^-}=-\infty\\\\\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{x}{\ln(x)}=\frac{1}{0^+}=+\infty$

La recta x=1 sí es por tanto una asíntota vertical.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{\ln(x)}=\underbrace{\frac{\infty}{\infty}}_{Ind}$

Indeterminación que resolvemos utilizando la regla de L’Hôpital:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{\ln(x)}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{1/x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty$

No tiene por tanto asíntota horizontal.

$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x\ln(x)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\ln(x)}=\frac 1{\infty}=0$

No existe asíntota oblicua a la que f se aproxime asintóticamente.

b) Las ecuaciones de las rectas tangente y normal son:

$\boxed{rt:~y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}$

$\boxed{rn:~y-f(x_0)=\dfrac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)}$

Hemos de encontrar ambas ecuaciones en el punto de abscisas $x_0=e$ :

$f(e)=\dfrac{e}{\ln e}=e\\\\f'(x)=\dfrac{\ln(x)-x\frac 1x}{\ln^2(x)}\longrightarrow f'(e)=\dfrac{1-1}{1}=0$

Luego las rectas buscadas son:

$rt:~y-e=0\cdot(x-e)\longrightarrow \boxed{y=e}$

$rn:~y-e=\dfrac{-1}{0}(x-e)\longrightarrow\boxed{x=e}$

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