Problema 218

Sea $g:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R$ la función definida por

$g(x)=\dfrac 1{x+\sqrt x}$

Determina la primitiva de g cuya gráfica pasa por el punto P(1,0). Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $t=\sqrt x$ .

Solución:

Utilizamos el cambio sugerido:

$t=\sqrt x\longrightarrow x=t^2\\dx=2t~dt$

$\displaystyle G(x)=\int\frac 1{x+\sqrt x}~dx=\int\frac 1{t^2+t}2t~dt=\\\\=\int\frac 2{t+1}~dt=2\ln|t+1|=2\ln|\sqrt x+1|+k$

Dice el enunciado que esta primitiva pasa por el punto (1,0), lo cual significa que G(1)=0:

$G(1)=2\ln|\sqrt 1+1|+k=2\ln 2+k=0\longrightarrow k=-2\ln2$

Por tanto, la primitiva buscada es:

$G(x)=2\ln|\sqrt x+1|-2\ln2$

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