Problema 219

Sean

A=\begin{pmatrix}-2&1&-3\\-1&m&m-2\\m&0&2\end{pmatrix},~B=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},~X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}

a) Determina el rango de A según los valores del parámetro m.

b) Discute el sistema AX=B según los valores del parámetro m.

c) Resuelve el sistema AX=B para m=1.


Solución:

a) Calculamos el determinante de A:

\begin{aligned}\begin{vmatrix}-2&1&-3\\-1&m&m-2\\m&0&2\end{vmatrix}&=-4m+m(m-2)+3m^2+2=\\&=-4m+m^2-2m+3m^2+2=4m^2-6m+2\end{aligned}

Igualando a 0 y resolviendo obtenemos: m=1 y m=1/2. Por tanto:

  • Si m≠1 y m≠1/2, entonces rg(A)=3.
  • Si m=1, encontramos \begin{vmatrix}-2&1\\-1&1\end{vmatrix}=-1 y por tanto, rg(A)=2.
  • Si m=1/2, encontramos \begin{vmatrix}-1&1/2\\1/2&0\end{vmatrix}\neq0 y por tanto, rg(A)=2.

b) Para discutir sistemas de ecuaciones lineales utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Del sistema AX=B obtenemos la matriz ampliada:

A^*=\begin{pmatrix}-2&1&-3&1\\-1&m&m-2&1\\m&0&2&0\end{pmatrix}

  • Si m≠1 y m≠1/2, entonces rg(A)=3=rg(A*)=n y, por tanto, el sistema es compatible determinado.
  • Si m=1, sabemos del apartado anterior que rg(A)=2. Veamos el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}-2&1&1\\-1&1&1\\1&0&0\end{vmatrix}=1-1=0

Por tanto, el rango de A* es también 2 y el sistema es compatible indeterminado.

  • Si m=1/2, sabemos del apartado anterior que rg(A)=2. Veamos cual es el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}-2&1&1\\-1&1/2&1\\1/2&0&0\end{vmatrix}=\dfrac 12-\dfrac 14=\dfrac 14

Por tanto, el rango de A* es 3, y el sistema es incompatible.


c) En el caso m=1 el sistema solo tiene dos ecuaciones linealmente independientes como indicamos en el apartado anterior:

\left\{\begin{array}{rcl}-2x+y-3z&=&1\\-x+y-z&=&1\end{array}\right.

Sistema que resolveremos haciendo el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{rcl}-2x+y&=&1+3\lambda\\-x+y&=&1+\lambda\end{array}\right.

Si a la ecuación de abajo le restamos la de arriba resulta: x=-2\lambda. Sustituyendo los valores de z y de x obtenidos obtenemos y:

-x+y=1+\lambda\\\\-(-2\lambda)+y=1+\lambda\\\\y=1-\lambda

La solución del sistema es, por tanto:

\left\{\begin{array}{l}x=-2\lambda\\y=1-\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

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