Problema 220

Considera los puntos A(1,2,1), B(-1,0,2) y C(3,2,0) y el plano π determinado por ellos.

a) Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B son simétricos respecto de r.

b) Calcula la distancia de A a r.

Solución:

a) La recta r buscada ha de pertenecer al plano π y al plano mediatriz de A y B. Llamemos α a dicho plano mediatriz. El plano α pasa por el punto medio M entre A y B, y tiene por vector normal el vector $\overrightarrow{AB}$ .

$\vec n_\alpha=\overrightarrow{AB}=(-1,0,2)-(1,2,1)=(-2,-2,1)\\\\M=\dfrac{A+B}2=\dfrac{(1,2,1)+(-1,0,2)}2=\dfrac{(0,2,3)}2=\left(0,1,\frac 32\right)$

Con el vector normal, obtenemos los tres primeros coeficientes del plano α en forma implícita:

$\alpha:~-2x-2y+z+D=0$

Sustituyendo las coordenadas de M obtenemos D:

$-2\cdot 0-2\cdot 1+\frac 32+D=0\\\\-2+\frac 32+D=0\\\\D=\frac 12$

Luego el plano α es: $-2x-2y+z+\frac 12=0$ . O multiplicando por 2:

$\alpha:~-4x-4y+2z+1=0$

Por otra parte escribimos el plano π en forma implícita sabiendo que π pasa por A y tiene por vectores directores a $\overrightarrow{AB}\mbox{ y }\overrightarrow{AC}$ , siendo $\overrightarrow{AC}=(3,2,0)-(1,2,1)=(2,0,-1)$ :