Considera los puntos A(1,2,1), B(-1,0,2) y C(3,2,0) y el plano π determinado por ellos.
a) Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B son simétricos respecto de r.
b) Calcula la distancia de A a r.
Solución:
a) La recta r buscada ha de pertenecer al plano π y al plano mediatriz de A y B. Llamemos α a dicho plano mediatriz. El plano α pasa por el punto medio M entre A y B, y tiene por vector normal el vector .
Con el vector normal, obtenemos los tres primeros coeficientes del plano α en forma implícita:
Sustituyendo las coordenadas de M obtenemos D:
Luego el plano α es: . O multiplicando por 2:
Por otra parte escribimos el plano π en forma implícita sabiendo que π pasa por A y tiene por vectores directores a , siendo
:
Simplificando el resultado, el plano π es:
Por último, la recta r buscada es la intersección del plano α y π:
b) La distancia que hay desde A hasta r es igual a la distancia que hay desde A hasta M:
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