Problema 220

Considera los puntos A(1,2,1), B(-1,0,2) y C(3,2,0) y el plano π determinado por ellos.

a) Halla la ecuación de la recta r que está contenida en π y tal que A y B son simétricos respecto de r.

b) Calcula la distancia de A a r.


Solución:

a) La recta r buscada ha de pertenecer al plano π y al plano mediatriz de A y B. Llamemos α a dicho plano mediatriz. El plano α pasa por el punto medio M entre A y B, y tiene por vector normal el vector \overrightarrow{AB}.

\vec n_\alpha=\overrightarrow{AB}=(-1,0,2)-(1,2,1)=(-2,-2,1)\\\\M=\dfrac{A+B}2=\dfrac{(1,2,1)+(-1,0,2)}2=\dfrac{(0,2,3)}2=\left(0,1,\frac 32\right)

Con el vector normal, obtenemos los tres primeros coeficientes del plano α en forma implícita:

\alpha:~-2x-2y+z+D=0

Sustituyendo las coordenadas de M obtenemos D:

-2\cdot 0-2\cdot 1+\frac 32+D=0\\\\-2+\frac 32+D=0\\\\D=\frac 12

Luego el plano α es: -2x-2y+z+\frac 12=0. O multiplicando por 2:

\alpha:~-4x-4y+2z+1=0

Por otra parte escribimos el plano π en forma implícita sabiendo que π pasa por A y tiene por vectores directores a \overrightarrow{AB}\mbox{ y }\overrightarrow{AC}, siendo \overrightarrow{AC}=(3,2,0)-(1,2,1)=(2,0,-1):

\begin{vmatrix}x-1&y-2&z-1\\-2&-2&1\\2&0&-1\end{vmatrix}=2(x-1)+4(z-1)=2x-2+4z-4=2x+4z-6=0

Simplificando el resultado, el plano π es:

\pi\equiv~x+2z-3=0

Por último, la recta r buscada es la intersección del plano α y π:

r=\pi\cap\alpha\equiv\left\{\begin{array}{l}x+2z-3=0\\-4x-4y+2z+1=0\end{array}\right.


b) La distancia que hay desde A hasta r es igual a la distancia que hay desde A hasta M:

d(A,r)=d(A,M)=|\overrightarrow{AM}|

\overrightarrow{AM}=\left(0,1,\frac 32\right)-(1,2,1)=\left(-1,-1,\frac 12\right)

d(A,r)=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+\left(\frac 12\right)^2}=\sqrt{\frac 94}=\dfrac 32\mbox{ u.l.}

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