Problema 221

Sea f la función definida por f(x)=\dfrac k{(x-a)(2x-1)} para x\neq a y x\neq\frac 12.

a) Halla a y k sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (0,2) y que la recta x=2 es una asíntota de dicha gráfica.

b) Para k=4 y a=2, halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.


Solución:

a) Como x=2 es una asíntota vertical de f quiere decir que en x=2 no está definida dicha función racional. Dicho de otro modo, en x=2, el denominador de esta función vale 0:

(2-a)(2\cdot2-1)=0\longrightarrow a=2

Por otra parte, la gráfica de f pasa por el punto (0,2), lo cual quiere decir que f(0)=2:

f(0)=\dfrac k{(0-2)(2\cdot0-1)}=\dfrac k2=2\longrightarrow k=4


b) Para estudiar la monotonía de una función comenzamos por calcular la función derivada de dicha función. Dada f(x)=\dfrac 4{(x-2)(2x-1)}=\dfrac 4{2x^2-5x+2}:

f'(x)=\dfrac{-4(4x-5)}{(2x^2-5x+2)^2}

Calculamos los puntos críticos de f:

\dfrac{-4(4x-5)}{(2x^2-5x+2)^2}=0;\\\\-4(4x-5)=0;\\\\x=\frac 54

Con este punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de la función construimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,\frac 12)&(\frac 12,\frac 54)&(\frac 54,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&+&-&-\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece: (-\infty,\frac 12)\cup(\frac 12,\frac 54)
  • Decrece: (\frac 54,2)\cup(2,+\infty)

Existe un máximo en x=\frac 54 cuyo valor es: f(\frac 54)=\frac{-32}9

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s