Problema 222

Calcula \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}2}x\,\mbox{sen}(2x)~dx.


Solución:

Para resolver esta integral utilizaremos el método de integración por partes:

\begin{array}{lll}u=x&\longrightarrow&du=dx\\dv=\mbox{sen}(2x)~dx&\longrightarrow&v=\dfrac{-\cos(2x)}2\end{array}

Resolveremos primero la integral indefinida por comodidad, y luego aplicaremos la regla de Barrow:

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}2}x\,\mbox{sen}(2x)~dx=-x\dfrac{\cos(2x)}2-\int-\dfrac{\cos(2x)}2~dx=\\\\=-x\dfrac{\cos(2x)}2+\dfrac 12\int\cos(2x)~dx=-x\dfrac{\cos(2x)}2+\dfrac 14\,\mbox{sen}(2x)+k

Ahora calculamos la integral definida:

\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}2}x\,\mbox{sen}(2x)~dx=\left[-x\dfrac{\cos(2x)}2+\dfrac 14\,\mbox{sen}(2x)\right]_0^{\frac{\pi}2}=\left(\dfrac\pi 4\right)-(0)=\dfrac \pi 4

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