Problema 223

Sean A y B las matrices

A=\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}\quad B=\begin{pmatrix}1&-4\\-9&5\end{pmatrix}

a) Calcula las matrices X e Y para las que 2XY=A y X-3Y=B.

b) Halla la matriz Z que verifica B^2+ZA+B^t=3I (I denota la matriz identidad y B^t la matriz traspuesta de B).


Solución:

a) Primero resolvemos el sistema de ecuaciones matricial:

\left\{\begin{array}{l}2X-Y=A\\X-3Y=B\end{array}\right.\underset{\cdot (-2)}\longrightarrow\left\{\begin{array}{l}2X-Y=A\\-2X+6Y=-2B\end{array}\right.

Sumando estas dos últimas ecuaciones se obtiene:

5Y=A-2B\\\\Y=\frac 15(A-2B)

Sustituyendo el segunda ecuación del primer sistema:

X-3Y=B\\\\X=B+3(\frac 15(A-2B))\\\\X=B+\frac 35(A-2B)\\\\X=B+\frac 35A-\frac 65B\\\\X=\frac 35A-\frac 15B\\\\X=\frac 15(3A-B)

Ya podemos calcular las matrices X e Y:

X=\frac 15\left(3\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&-4\\-9&5\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}

Y=\frac 15\left(\begin{pmatrix}2&-3\\-3&5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1&-4\\-9&5\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0&1\\3&-1\end{pmatrix}


b) En primer lugar despejamos la matriz Z de la ecuación:

B^2+ZA+B^t=3I\\\\ZA=3I-B^2-B^t\\\\Z=(3I-B^2-B^t)A^{-1}

Calculamos todos los elementos necesarios:

B^2=\begin{pmatrix}1&-4\\-9&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-4\\-9&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}37&-24\\-54&61\end{pmatrix}

B^t=\begin{pmatrix}1&-9\\-4&5\end{pmatrix}

Para calcular A⁻¹ utilizamos la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}2&-3\\-3&5\end{vmatrix}=10-9=1

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}

A^{-1}=\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}

Ya podemos calcular la matriz Z:

Z=(3I-B^2-B^t)A^{-1}=\\\\=\left(3\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}37&-24\\-54&61\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&-9\\-4&5\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}5&3\\3&2\end{pmatrix}\\\\Z=\begin{pmatrix}-76&-39\\101&48\end{pmatrix}

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