Considera las rectas r y s dadas por
a) Determina la posición relativa de r y s.
b) Calcula la distancia entre r y s.
Solución:
a) Para determinar la posición relativa entre dos rectas lo mejor es obtener los vectores directores y un punto de cada recta. De la recta r tenemos y
.
Obtener un punto y el vector director de la recta s es más complicado ya que dicha recta está escrita en forma implícita:
Para calcular damos un valor cualquiera a cualquiera de las variables siempre que haciendo eso resulte un sistema compatible determinado. Por ejemplo, haciendo x=0 en las ecuaciones implícitas de s, resulta que y=1 y z=5. Luego
.
Para obtener la posición relativa de dos rectas solo hay que calcular dos rangos:
ya que
. De este resultado se deduce que las rectas o se cortan o se cruzan.
- Calculamos
siendo
Luego .
Como y
, entonces ambas rectas se cruzan.
b) La fórmula de la distancia para dos rectas que se cruzan es:
Calculamos los elementos necesarios:
Luego la distancia es:
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