Problema 224

Considera las rectas r  y s dadas por

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=2-3\lambda\\y=3+5\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.\qquad\mbox{y}\qquad s\equiv\left\{\begin{array}{rcc}x+y-1&=&0\\z-5&=&0\end{array}\right.

a) Determina la posición relativa de r y s.

b) Calcula la distancia entre r y s.


Solución:

a) Para determinar la posición relativa entre dos rectas lo mejor es obtener los vectores directores y un punto de cada recta. De la recta r tenemos \vec v_r=(-3,5,1) y P_r=(2,3,0).

Obtener un punto y el vector director de la recta s es más complicado ya que dicha recta está escrita en forma implícita:

\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=\vec\imath-\vec\jmath=(1,-1,0)

Para calcular P_s damos un valor cualquiera a cualquiera de las variables siempre que haciendo eso resulte un sistema compatible determinado. Por ejemplo, haciendo x=0 en las ecuaciones implícitas de s, resulta que y=1 y z=5. Luego P_s=(0,1,5).

Para obtener la posición relativa de dos rectas solo hay que calcular dos rangos:

  • \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}-3&5&1\\1&-1&0\end{pmatrix}=2 ya que \begin{vmatrix}3&5\\1&-1\end{vmatrix}\neq0. De este resultado se deduce que las rectas o se cortan o se cruzan.
  • Calculamos \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix} siendo \overrightarrow{P_rP_s}=(0,1,5)-(2,3,0)=(-2,-2,5)

\begin{vmatrix}-3&5&1\\1&-1&0\\-2&-2&5\end{vmatrix}=15-2-2-25=-14\neq0

Luego \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=3.

Como \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=2 y \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=3, entonces ambas rectas se cruzan.


b) La fórmula de la distancia para dos rectas que se cruzan es:

\boxed{d(r,s)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}}

Calculamos los elementos necesarios:

[\vec v_r,\vec v_s,\overrightarrow{P_rP_s}]=\begin{vmatrix}-3&5&1\\1&-1&0\\-2&-2&5\end{vmatrix}=-14

\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-3&5&1\\1&-1&0\end{vmatrix}=\vec\jmath+3\vec k-5\vec k+\vec\imath=(1,1,-2)

|\vec v_r\times\vec v_s|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt6

Luego la distancia es:

d(r,s)=\dfrac{|-14|}{\sqrt6}=\dfrac{7\sqrt6}3\mbox{ u.l.}

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