Problema 224

Considera las rectas r y s dadas por

$r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=2-3\lambda\\y=3+5\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.\qquad\mbox{y}\qquad s\equiv\left\{\begin{array}{rcc}x+y-1&=&0\\z-5&=&0\end{array}\right.$

a) Determina la posición relativa de r y s.

b) Calcula la distancia entre r y s.

Solución:

a) Para determinar la posición relativa entre dos rectas lo mejor es obtener los vectores directores y un punto de cada recta. De la recta r tenemos $\vec v_r=(-3,5,1)$ y $P_r=(2,3,0)$ .

Obtener un punto y el vector director de la recta s es más complicado ya que dicha recta está escrita en forma implícita:

$\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=\vec\imath-\vec\jmath=(1,-1,0)$

Para calcular $P_s$ damos un valor cualquiera a cualquiera de las variables siempre que haciendo eso resulte un sistema compatible determinado. Por ejemplo, haciendo x=0 en las ecuaciones implícitas de s, resulta que y=1 y z=5. Luego $P_s=(0,1,5)$ .

Para obtener la posición relativa de dos rectas solo hay que calcular dos rangos:

$\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}-3&5&1\\1&-1&0\end{pmatrix}=2$ ya que $\begin{vmatrix}3&5\\1&-1\end{vmatrix}\neq0$ . De este resultado se deduce que las rectas o se cortan o se cruzan.
Calculamos $\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}$ siendo $\overrightarrow{P_rP_s}=(0,1,5)-(2,3,0)=(-2,-2,5)$

$\begin{vmatrix}-3&5&1\\1&-1&0\\-2&-2&5\end{vmatrix}=15-2-2-25=-14\neq0$

Luego $\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=3$ .

Como $\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=2$ y $\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=3$ , entonces ambas rectas se cruzan.