Problema 225

Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de \sqrt5 cm de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la circunferencia. Calcula las dimensiones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro posible.


Solución:

Nos fijamos en la siguiente figura:

p225

El radio del semicírculo es r=\sqrt5. En él, se inscribe un rectángulo cuyas dimensiones son 2x\times y.

Nos piden calcular las dimensiones de aquel rectángulo que maximice el perímetro. Comenzamos por definir la función a optimizar: la función perímetro p(x,y)=4x+2y.

Pero para optimizar una función hay que derivar dicha función. No podemos derivar la función p ya que depende de dos variables. Buscamos una relación que se cumpla en la figura que nos permita reducir el número de variables. En nuestro caso utilizamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo que forma el radio con los lados del rectángulo (tomamos los valores de r, x e y todos positivos):

r^2=x^2+y^2\longrightarrow y^2=r^2-x^2=5-x^2

de donde y=\sqrt{5-x^2}. Sustituimos en la función p:

p(x)=4x+2\sqrt{5-x^2}

Calculamos sus puntos críticos:

p'(x)=4+\dfrac{2(-2x)}{2\sqrt{5-x^2}}=4-\dfrac{2x}{\sqrt{5-x^2}}=0~;\\\\4=\dfrac{2x}{\sqrt{5-x^2}}~;\\\\4\sqrt{5-x^2}=2x~;\\\\2\sqrt{5-x^2}=x~;

Elevamos esta ecuación al cuadrado:

4(5-x^2)=x^2~;\\\\20-4x^2=x^2~;\\\\5x^2=20~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2

Luego, el valor del lado x que maximiza el perímetro es x=2, siendo y=\sqrt{5-2^2}=1. Las dimensiones del rectángulo son: 4\times 1.

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