Problema 226

Halla $\displaystyle \int\frac{x+1}{1+\sqrt x}~dx$ . Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable $t=\sqrt x$ .

Solución:

Utilizamos el cambio de variable sugerido.

$t=\sqrt x~;\\x=t^2~;\\dx=2t~dt$

Sustituimos en la integral:

$\displaystyle \int\frac{x+1}{1+\sqrt x}~dx=\int\frac{t^2+1}{1+t}~2t~dt=2\int\frac{t^3+t}{1+t}~dt$

Como en esta integral racional, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, hacemos la descomposición:

$\boxed{\dfrac{\mbox{numerador}}{\mbox{denominador}}=\mbox{cociente}+\dfrac{\mbox{resto}}{\mbox{denominador}}}$

De esta manera, la integral se transforma en:

$\displaystyle 2\int\frac{t^3+t}{1+t}~dt=2\int (t^2-t+2)~dt+2\int\frac{-2}{1+t}~dt=\\\\=2\left(\frac{t^3}3-\frac{t^2}2+2t\right)-4\ln|1+t|$

Deshaciendo el cambio de variable:

$\displaystyle 2\left(\frac{t^3}3-\frac{t^2}2+2t\right)-4\ln|1+t|=2\left(\frac{\sqrt x^3}3-\frac{x}2+2\sqrt x\right)-4\ln|1+\sqrt x|+k$

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