Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales
a) Determina el valor de m para el que añadir la ecuación
al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.
b) Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.
Solución:
a) Para que esta tercera ecuación no de lugar a soluciones nuevas, debe ser combinación lineal de las otras dos. Dicho de otro modo, este sistema de tres ecuaciones debe dar lugar a una matriz de coeficientes y ampliada cuyo rango ha de ser el mismo que el del sistema inicial de dos ecuaciones.
El rango de la matrices de coeficientes y ampliada del sistema original es 2 ya que .
El rango de las matrices de coeficientes y ampliada del sistema de las tres ecuaciones, han de ser también 2. Escribimos ambas matrices:
Veamos cual es el rango de M:
Determinante cuya raíz es:
Para m=-6, el rango de M es 2 como demostramos antes. Veamos en este caso el rango de la matriz ampliada:
Luego el rango de la matriz M* también es 2 para m=-6.
El valor de m buscado es m=-6.
b) El sistema a resolver es el siguiente:
La determinante de la matriz de coeficientes de este sistema es:
Por tanto, el rango de la matriz de coeficientes es 3 y el sistema es compatible determinado. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:
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