Problema 227

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&-&y&+&z&=&0\\2x&+&3y&-&z&=&3\end{array}\right.

a) Determina el valor de m para el que añadir la ecuación

x+my+4z=-3

al sistema anterior se obtenga un sistema con las mismas soluciones.

b) Calcula la solución del sistema para la que la suma de los valores de las incógnitas sea 6.


Solución:

a) Para que esta tercera ecuación no de lugar a soluciones nuevas, debe ser combinación lineal de las otras dos. Dicho de otro modo, este sistema de tres ecuaciones debe dar lugar a una matriz de coeficientes y ampliada cuyo rango ha de ser el mismo que el del sistema inicial de dos ecuaciones.

El rango de la matrices de coeficientes y ampliada del sistema original es 2 ya que \begin{vmatrix}1&-1\\2&3\end{vmatrix}\neq0.

El rango de las matrices de coeficientes y ampliada del sistema de las tres ecuaciones, han de ser también 2. Escribimos ambas matrices:

M=\begin{pmatrix}1&-1&1\\2&3&-1\\1&m&4\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&-1&1&0\\2&3&-1&3\\1&m&4&-3\end{pmatrix}

Veamos cual es el rango de M:

\begin{vmatrix}1&-1&1\\2&3&-1\\1&m&4\end{vmatrix}=12+1+2m-3+8+m=3m+18

Determinante cuya raíz es:

3m+18=0\longrightarrow m=-6

Para m=-6, el rango de M es 2 como demostramos antes. Veamos en este caso el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&-1&0\\2&3&3\\1&-6&-3\end{vmatrix}=-9-3-6+18=0

Luego el rango de la matriz M* también es 2 para m=-6.

El valor de m buscado es m=-6.


b) El sistema a resolver es el siguiente:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&-&y&+&z&=&0\\2x&+&3y&-&z&=&3\\x&+&y&+&z&=&6\end{array}\right.

La determinante de la matriz de coeficientes de este sistema es:

\begin{vmatrix}1&-1&1\\2&3&-1\\1&1&1\end{vmatrix}=3+1+2-3+2+1=6

Por tanto, el rango de la matriz de coeficientes es 3 y el sistema es compatible determinado. Resolvemos el sistema utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}0&-1&1\\3&3&-1\\6&1&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&1\\2&3&-1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{6+3-18+3}6=-1

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&0&1\\2&3&-1\\1&6&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&1\\2&3&-1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{3+12-3+6}6=3

z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-1&0\\2&3&3\\1&1&6\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-1&1\\2&3&-1\\1&1&1\end{vmatrix}}=\dfrac{18-3+12-3}6=4

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