Problema 228

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(-1,0,3), B(2,-1,1) y C(3,2,-3).

a) Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.

b) Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo.

c) Calcula las coordenadas del vértice D.

Solución:

a) El plano buscado se forma con los siguientes elementos \pi\equiv(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}):

\overrightarrow{AB}=(2,-1,1)-(-1,0,3)=(3,-1,-2)\\\\\overrightarrow{AC}=(3,2,-3)-(-1,0,3)=(4,2,-6)

Luego el plano es:

\begin{vmatrix}x+1&y&z-3\\3&-1&-2\\4&2&-6\end{vmatrix}=10(x+1)+10y+10(z-3)=0

Simplificando:

x+1+y+z-3=0\\\\\pi\equiv x+y+z-2=0

b) La recta buscada se construye con los siguientes elementos r\equiv(A,\overrightarrow{AC}):

r\equiv~\dfrac{x+1}4=\dfrac y2=\dfrac{z-3}{-6}

p88c) En el paralelogramo ABCD se cumple que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} ya que AC es una diagonal.

El punto D tiene coordenadas (x,y,z).

\overrightarrow{AB}=(3,-1,-2)

\overrightarrow{DC}=(3,2,-3)-(x,y,z)=(3-x,2-y,-3-z)

Igualando ambos vectores:

\left\{\begin{array}{l}3=3-x\\-1=2-y\\-2=-3-z\end{array}\right.

Sistema cuya solución es D=(0,3,-1).

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