Problema 229

Considera la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R dada por f(x)=x^3+ax^2+bx+c. Determina a, b y c sabiendo que la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0 es y+x=-3 y que el punto de inflexión tiene abscisa x=1.


Solución:

Dice el enunciado que la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x=0 es y+x=-3. Despejando y:

y=-x-3 cuya pendiente es -1.

Dado que la pendiente de la recta normal de una función en un punto x=x_0 es m_{rn}=\dfrac{-1}{f'(x_0)}, resulta que:

-1=\dfrac{-1}{f'(0)}

Además por ser recta normal a f significa que para x=0, f(0)=-3 pues -3 es el valor que toma la recta normal en x=0.

Por otra parte, f tiene un punto de inflexión en x=1. Esto significa que f''(1)=0.

Utilizamos las tres ecuaciones obtenidas para calcular el valor de a, b y c. Dado que f'(x)=3x^2+2ax+b y f''(x)=6x+2a:

\left\{\begin{array}{l}-1=\dfrac{-1}{f'(0)}\longrightarrow -1=\dfrac{-1}b\\f(0)=-3\longrightarrow c=-3\\f''(1)=0\longrightarrow 6+2a=0\end{array}\right.

Sistema cuya solución es: a=-3, b=1, c=-3.

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