Problema 230

Sea g:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R la función definida por g(x)=|\ln(x)| (donde ln denota el logaritmo neperiano).

a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta y=1. Calcula los puntos de corte entre ellas.

b) Calcula el área del recinto anterior.


Solución:

a) La función y=\ln(x) es una función elemental definida para x>0, creciente y cóncava en todo su dominio, que corta al eje x en (1,0), sin asíntota horizontal y que tiende a -∞ cuando x→0⁺.

lnxLa función g(x)=|\ln(x)| es igual que la anterior salvo que para los valores x donde la función g se hace negativa, es decir, en el intervalo (0,1), se representa la función simétrica respecto al eje x.

La recta y=1 es una recta horizontal paralela al eje x que pasa por el punto (0,1).

Para calcular el punto donde se cortan ambas funciones, las igualamos y resolvemos:

g(x)=y\\\\|\ln(x)|=1

Ecuación en valor absoluto que tiene dos soluciones:

\bullet\ln(x)=1\longrightarrow x=e\\\\\bullet -\ln(x)=1\longrightarrow x=\dfrac 1e

Ambas funciones se cortan en (e,1) y (1/e,1).

Con todos estos datos, el esbozo resultante debe ser semejante a la siguiente gráfica:

p130

Donde a=1/e y b=e.


b) La función g se puede expresar como una función a trozos:

g(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\ln(x)&\mbox{si}&x\geq1\\-\ln(x)&\mbox{si}&x<1\end{array}\right.

Entonces el área de la región sombreada es:

\displaystyle S=\int_{1/e}^11-(-\ln(x))~dx+\int_1^{e}1-\ln(x)~dx=\int_{1/e}^11+\ln(x)~dx+\int_1^{e}1-\ln(x)~dx

Calculamos la integral \displaystyle\int \ln(x)~dx utilizando el método de integración por partes:

\displaystyle \begin{array}{lcl}u=\ln(x)~dx&\longrightarrow&du=\frac 1x~dx\\dv=dx&\longrightarrow&v=x\end{array}

Luego, \displaystyle\int \ln(x)~dx=x\ln(x)-\int x\frac 1x~dx=x\ln(x)-x+k, aunque la constante de integración no se tiene en cuenta en integrales definidas.

Volvemos al cálculo del área

\displaystyle S=\int_{1/e}^11+\ln(x)~dx+\int_1^{e}1-\ln(x)~dx=\\\\=[x+x\ln(x)-x]_{1/e}^1+[x-x\ln(x)+x]_{1}^e=\\\\=[x\ln(x)]_{1/e}^1+[2x-x\ln(x)]_1^e=\\\\=\left(1\ln(1)-\frac 1e\ln\left(\frac 1e\right)\right)+\left(2e-e\ln(e)-2+1\ln(1)\right)=\\\\=\left(0+\frac 1e\right)+(2e-e-2)=\frac 1e+e-2=\frac{e^2-2e+1}e\mbox{ u.a.}

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