Problema 231

Considera las matrices A=\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}.

a) Calcula X e Y tales que X-Y=A^t y 2X-Y=B (A^t es la matriz traspuesta de A).

b) Calcula Z tal que AZ=BZ+A.


Solución:

a) Escribimos ambas ecuaciones en forma de sistema:

\left\{\begin{array}{l}X-Y=A^t\\2X-Y=B\end{array}\right.

Si a la ecuación de abajo le restamos la de arriba, resulta: X=B-A^t. Sustituyendo este resultado en la ecuación de arriba, resulta:

X-Y=A^t~;\\\\B-A^t-Y=A^t~;\\\\Y=B-2A^t

Luego:

X=B-A^t=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&-1\end{pmatrix}

Y=B-2A^t=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}-1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1\\-3&-2\end{pmatrix}


b) Despejamos de la ecuación la matriz Z:

AZ=BZ+A~;\\\\AZ-BZ=A~;\\\\(A-B)Z=A~;\\\\Z=(A-B)^{-1}A

Ya podemos calcular Z, recordando que la matriz inversa de otra matriz es:

\boxed{M^{-1}=\dfrac 1{|M|}(\mbox{Adj}(M))^t}

A-B=\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&3\\-1&1\end{pmatrix}

|A-B|=\begin{vmatrix}-2&3\\-1&1\end{vmatrix}=-2+3=1

\mbox{Adj}(A-B)=\begin{pmatrix}1&1\\-3&-2\end{pmatrix}

(A-B)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-3\\1&-2\end{pmatrix}

Por tanto:

Z=(A-B)^{-1}A=\begin{pmatrix}1&-3\\1&-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&0\end{pmatrix}

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