Problema 232

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Considera los puntos A(1,2,3) y B(-1,0,4).

a) Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales.

b) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A y es perpendicular al segmento AB.

Solución:

a) Hemos de calcular los puntos C y D en la siguiente figura:

p232Se cumple en esta figura que \overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}.

Luego:

\overrightarrow{AB}=(-1,0,4)-(1,2,3)=(-2,-2,1)\\\\\overrightarrow{AC}=\dfrac 13\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}~;\\\\\overrightarrow{OC}=\dfrac 13\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}=(\frac{-2}3,\frac{-2}3,\frac 13)+(1,2,3)=(\frac 13,\frac 43,\frac{10}3)

Ya tenemos el punto C=(\frac 13,\frac 43,\frac{10}3).

Sabiendo que \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}:

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}~;\\\\\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}~;\\\\\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(\frac 23,\frac 83,\frac{20}3)-(1,2,3)=(\frac{-1}3,\frac 23,\frac{11}3)

El punto D es (\frac{-1}3,\frac 23,\frac{11}3).

b) El plano buscado pasa por el punto A(1,2,3) y tiene por vector normal \vec v_n=(-2,-2,1). Ya tenemos los tres primeros coeficientes de la ecuación general de dicho plano:

-2x-2y+z+D=0

D no es el punto del apartado anterior sino el término independiente de la ecuación general del plano, el cual se calcula imponiendo que el plano pase por el punto A.

-2\cdot 1-2\cdot 2+3+D=0~;\\\\-2-4+3+D=0~;\\\\D=3

Luego el plano buscado es: -2x-2y+z+3=0.

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