Problema 233

Sea la función f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=\dfrac 1x+\ln(x) donde ln denota la función logaritmo neperiano.

a) Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo \left[\dfrac 1e,e\right].

b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=e.


Solución:

a) Calculamos en primer lugar los puntos críticos de f:

f'(x)=\dfrac{-1}{x^2}+\dfrac 1x=\dfrac{-1+x}{x^2}=0

Ecuación cuya solución es x=1.

Ahora evaluamos la función tanto en el punto crítico como en los extremos del intervalo:

f(1)=1+\ln(1)=1\\\\f(\frac 1e)=e-1\\\\f(e)=\frac 1e+1

Luego tenemos un máximo absoluto en (\frac 1e,e-1) y un mínimo absoluto en (1,1).


b) La ecuación de la recta tangente es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso, x_0=e, por tanto, f(e)=\frac 1e+1 y f'(e)=\dfrac{-1+e}{e^2}.

Sustituimos en la ecuación de la recta tangente y simplificamos:

y-\dfrac 1e-1=\dfrac{-1+e}{e^2}(x-e)~;\\\\y=\dfrac{(-1+e)(x-e)}{e^2}+\dfrac 1e+1~;\\\\y=\dfrac{(-1+e)x+e-e^2+e+e^2}{e^2}~;\\\\y=\dfrac{(-1+e)x+2e}{e^2}

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