Problema 234

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Sean f,\,g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R las funciones definidas por f(x)=\mbox{sen}(x) y g(x)=\cos(x) respectivamente.

a) Realiza un esbozo de las gráficas de f y g en el intervalo \left[0,\dfrac \pi2\right].

b) Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas x=0 y x=\dfrac\pi2.π

Solución:

a) Ambas son funciones elementales estudiadas en cursos anteriores. La función f(x)=\mbox{sen}(x) en el intervalo dado es continua, creciente, cóncava y pasa por los puntos (0,0) y (\frac\pi2,1).

La función g(x)=\cos(x) en el intervalo dado es continua, decreciente, cóncava y pasa por los puntos (0,1) y (\frac\pi2,0).

El esbozo de ambas gráficas debe resultar semejante a la siguiente figura:

p234

Observamos que ambas gráficas se cortan en un punto. Calculamos dicho punto igualando ambas funciones:

\mbox{sen}(x)=\cos(x)~;\\\\\tan(x)=1~;\\\\x=\dfrac\pi4

b) El área S buscada es:

\displaystyle S=\int_0^{\pi/4}\cos(x)-\mbox{sen}(x)~dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\mbox{sen}(x)-\cos(x)~dx=\\\\=\left[\mbox{sen}(x)+\cos(x)\right]_0^{\pi/4}+[-\cos(x)-\mbox{sen}(x)]_{\pi/4}^{\pi/2}=\\\\=\left(\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2\right)-(1)+(-1)-\left(-\frac{\sqrt2}2-\frac{\sqrt2}2\right)=\\\\=2\sqrt2-2\mbox{ u.a.}

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