Problema 235

Algebra II, Matrices y determinantes II, Selectividad Mat II

Considera las matrices

A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\\1&2&1\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}-1&2&0\\1&1&2\end{pmatrix}

Determina, si existe, la matriz X que verifica AXB=C^t, siendo C^t la matriz traspuesta de C.

Solución:

Despejamos la matriz X de la ecuación:

AXB=C^t~;\\\\XB=A^{-1}C^t~;\\\\X=A^{-1}C^tB^{-1}

Existirá dicha matriz X si existen las matrices inversas de A y B.  Para calcular la matriz inversa de una matriz M utilizamos la fórmula:

\boxed{M^{-1}=\dfrac 1{|M|}(\mbox{Adj}M)^t}

Calculamos la matriz inversa de A en primer lugar.

|A|=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\\1&2&1\end{pmatrix}=1+4-4=1

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}-3&2&-1\\-2&1&0\\4&-2&1\end{pmatrix}

A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&-2&4\\2&1&-2\\-1&0&1\end{pmatrix}

Calculamos ahora la inversa de la matriz B:

|B|=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=-1

\mbox{Adj}B=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}

B^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

Luego la matriz X buscada es:

X=A^{-1}C^tB^{-1}=\begin{pmatrix}-3&-2&4\\2&1&-2\\-1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\2&1\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\\\\=\begin{pmatrix}-1&3\\0&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-1\\-1&0\\1&1\end{pmatrix}

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