Problema 236

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

El punto M(1,-1,0) es el centro de un paralelogramo y A(2,1,-1) y B(0,-2,3) son dos vértices consecutivos del mismo.

a) Halla la ecuación general del plano que contiene al paralelogramo.

b) Determina uno de los otros dos vértices y calcula el área de dicho paralelogramo.

Solución:

a) El plano buscado se construye con el punto A y los vectores directores \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AM}, siendo

\overrightarrow{AB}=(0,-2,3)-(2,1,-1)=(-2,-3,4)\\\\\overrightarrow{AM}=(1,-1,0)-(2,1,-1)=(-1,-2,1)

Luego el plano es:

\begin{vmatrix}x-2&y-1&z+1\\-2&-3&4\\-1&-2&1\end{vmatrix}=5(x-2)-2(y-1)+z+1=5x-10-2y+2+z+1=\\\\=\boxed{5x-2y+z-7=0}

b) Si M es el centro del paralelogramo, entonces M es el punto medio entre A y C.p88

M=\dfrac{A+C}2~;\\\\C=2M-A~;\\\\C=2(1,-1,0)-(2,1,-1)=(0,-3,1)

Por otra parte, dado dos de los lados no paralelos del paralelogramo, el área del paralelogramos S es:

\boxed{S=|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}|}

\overrightarrow{BC}=(0,-3,1)-(0,-2,3)=(0,-1,-2)

\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-2&-3&4\\0&-1&-2\end{vmatrix}=10\vec\imath-4\vec\jmath+2\vec k

Luego el área es:

S=\sqrt{10^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}\mbox{ u.a.}

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