Problema 237

Sea f la función definida por f(x)=\dfrac{2x^2}{(x+1)(x-2)} para x≠-1 y x≠2.

a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f.

b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

c) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a la asíntota horizontal.


Solución:

a) El dominio de la función es \mathbb R\setminus\{-1,2\}, y es en esos dos valores excluidos del dominio donde podrían haber dos asíntotas verticales:

  • Asíntota vertical en x=-1.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{2x^2}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{2}{0^+\cdot(-3)}=\frac 2{0^-}=-\infty

\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{2x^2}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{2}{0^-\cdot(-3)}=\frac 2{0^+}=+\infty

Existe una asíntota vertical cuya ecuación es x=-1.

  • Asíntota vertical en x=2.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow2^+}\dfrac{2x^2}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{8}{3\cdot0^+}=\frac 8{0^+}=+\infty

\displaystyle\lim_{x\rightarrow2^-}\dfrac{2x^2}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{8}{3\cdot0^-}=\frac 8{0^-}=-\infty

Existe otra asíntota vertical cuya ecuación es x=2.

  • Asíntota horizontal.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^2}{(x+1)(x-2)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^2}{x^2-x-2}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=2

\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x^2}{(x+1)(x-2)}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x^2}{x^2-x-2}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=2

Existe una asíntota horizontal cuya ecuación es y=2.

  • Asíntota oblicua no tiene.

b) Para estudiar la monotonía de la función f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2-x-2} comenzamos calculando sus puntos críticos:

f'(x)=\dfrac{4x(x^2-x-2)-2x^2(2x-1)}{(x^2-x-2)^2}=0~;\\\\4x(x^2-x-2)-2x^2(2x-1)=0~;\\\\4x^3-4x^2-8x-4x^3+2x^2=0~;\\\\-2x^2-8x=0~;\\\\-2x(x+4)=0

Los puntos críticos son las soluciones de esta ecuación: x=0 y x=-4.

Con los puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio, estudiamos la monotonía de f en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-4)&(-4,-1)&(-1,0)&(0,2)&(2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&+&-&-\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Decrece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(-4,-1)\cup(-1,0)
  • Decrece en x\in(-\infty,-4)\cup(0,2)\cup(2,+\infty)

c) Para calcular los puntos donde la gráfica de f corta a la asíntota horizontal, tenemos que igualar ambas funciones, recordando que la asíntota horizontal tiene por ecuación y=2:

\dfrac{2x^2}{x^2-x-2}=2~;\\\\2x^2=2x^2-2x-4~;\\\\2x+4=0

Ecuación cuya solución es x=-2. Luego el punto donde se cortan la función f y su asíntota horizontal es (-2,2).

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