Problema 238

Sea la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=x^2\cos(x). Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (π,0).


Solución:

Para obtener la primitiva F de la función f, hemos de integrar dicha función. Para integrar f utilizamos el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=x^2&\longrightarrow&du=2x~dx\\dv=\cos(x)~dx&\longrightarrow&v=\mbox{sen}(x)\end{array}

Entonces:

\displaystyle F(x)=\int x^2\cos(x)~dx=x^2\,\mbox{sen}(x)-\int 2x\,\mbox{sen}(x)~dx

Esta última integral, a su vez, también se realiza por el método de integración por partes:

\begin{array}{lcl}u=2x&\longrightarrow&du=2~dx\\dv=\mbox{sen}(x)~dx&\longrightarrow&v=-\cos(x)\end{array}

Luego:

\displaystyle F(x)=x^2\,\mbox{sen}(x)-\int 2x\,\mbox{sen}(x)~dx=\\\\=x^2\,\mbox{sen}(x)-\left[2x(-\cos(x))-\int 2(-\cos(x))~dx\right]=\\\\=x^2\,\mbox{sen}(x)+2x\cos(x)-2\,\mbox{sen}(x)+k

Sabemos que F(\pi)=0, por tanto:

F(\pi)=\pi^2\,\mbox{sen}(\pi)+2\pi\cos(\pi)-2\,\mbox{sen}(\pi)+k=-2\pi+k=0

de donde k=π, y la primitiva buscada es:

F(x)=x^2\,\mbox{sen}(x)+2x\cos(x)-2\,\mbox{sen}(x)+2\pi

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