Dado el sistema de ecuaciones

a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k.

b) Resuélvelo para k=1.

Solución:

a) Para discutir un sistema de ecuaciones se utiliza el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema:

Calculamos el rango de M en función de los valores del parámetro k:

Igualando a 0 y resolviendo obtenemos que k=-7 y k=1. Luego:

• Si k≠-7 y k≠1 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
• Si k=-7 el rg(M)=2 ya que . Calculemos el rg(M*), para ello calculamos el siguiente determinante:

Luego el rg(M*)=3, y el sistema es, por tanto, incompatible.

• Si k=1 el rg(M)=2 ya que

Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada:

Por tanto, el rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.

b) Sabemos que para k=1, el sistema es compatible indeterminado. Sabemos que, en este caso, el rango de M es 2, por lo que solo las dos primeras ecuaciones son linealmente independientes y la tercera es prescindible por ser combinación lineal de las primeras.

Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:

Este último sistema está casi resuelto pues vemos que . Solo queda calcular y:

La solución del sistema es, por tanto:

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