Problema 239

Dado el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccccccc}kx&+&2y&&&=&3\\-x&&&+&2kz&=&-1\\3x&-&y&-&7z&=&k+1\end{array}\right.

a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k.

b) Resuélvelo para k=1.


Solución:

a) Para discutir un sistema de ecuaciones se utiliza el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema:

M=\begin{pmatrix}k&2&0\\-1&0&2k\\3&-1&-7\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}k&2&0&3\\-1&0&2k&-1\\3&-1&-7&k+1\end{pmatrix}

Calculamos el rango de M en función de los valores del parámetro k:

\begin{vmatrix}k&2&0\\-1&0&2k\\3&-1&-7\end{vmatrix}=12k-14+2k^2

Igualando a 0 y resolviendo obtenemos que k=-7 y k=1. Luego:

  • Si k≠-7 y k≠1 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si k=-7 el rg(M)=2 ya que \begin{vmatrix}-7&2\\-1&0\end{vmatrix}\neq0. Calculemos el rg(M*), para ello calculamos el siguiente determinante:

\begin{vmatrix}-7&2&3\\-1&0&-1\\3&-1&-6\end{vmatrix}=-8\neq0

Luego el rg(M*)=3, y el sistema es, por tanto, incompatible.

  • Si k=1 el rg(M)=2 ya que \begin{vmatrix}1&2\\-1&0\end{vmatrix}=2\neq0

Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&2&3\\-1&0&-1\\3&-1&2\end{vmatrix}=0

Por tanto, el rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.


b) Sabemos que para k=1, el sistema es compatible indeterminado. Sabemos que, en este caso, el rango de M es 2, por lo que solo las dos primeras ecuaciones son linealmente independientes y la tercera es prescindible por ser combinación lineal de las primeras.

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&&&=&3\\-x&&&+&2z&=&-1\\3x&-&y&-&7z&=&2\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&&&=&3\\-x&&&+&2z&=&-1\end{array}\right.

Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&&&=&3\\-x&&&+&2\lambda&=&-1\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{ccccc}x&+&2y&=&3\\-x&&&=&-1-2\lambda\end{array}\right.

Este último sistema está casi resuelto pues vemos que x=1+2\lambda. Solo queda calcular y:

2y=3-x~;\\\\2y=3-(1+2\lambda)~;\\\\y=\dfrac{2-2\lambda}2=1-\lambda

La solución del sistema es, por tanto:

\left\{\begin{array}{l}x=1+2\lambda\\y=1-\lambda\\z=\lambda\end{array}\right.

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