Dado el sistema de ecuaciones
a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k.
b) Resuélvelo para k=1.
Solución:
a) Para discutir un sistema de ecuaciones se utiliza el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos escribiendo las matrices de coeficientes y ampliada del sistema:
Calculamos el rango de M en función de los valores del parámetro k:
Igualando a 0 y resolviendo obtenemos que k=-7 y k=1. Luego:
- Si k≠-7 y k≠1 entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si k=-7 el rg(M)=2 ya que
. Calculemos el rg(M*), para ello calculamos el siguiente determinante:
Luego el rg(M*)=3, y el sistema es, por tanto, incompatible.
- Si k=1 el rg(M)=2 ya que
Ahora calculamos el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, el rg(M*)=2 y el sistema es compatible indeterminado.
b) Sabemos que para k=1, el sistema es compatible indeterminado. Sabemos que, en este caso, el rango de M es 2, por lo que solo las dos primeras ecuaciones son linealmente independientes y la tercera es prescindible por ser combinación lineal de las primeras.
Para resolverlo hacemos el cambio z=λ:
Este último sistema está casi resuelto pues vemos que . Solo queda calcular y:
La solución del sistema es, por tanto:
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