Problema 240

Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de ecuaciones

\left\{\begin{array}{lcc}2x-3y&=&4\\2x-3y-z&=&0\end{array}\right.


Solución:

En primer lugar vamos a estudia la posición relativa de ambas rectas para saber que fórmula de la distancia utilizar.

Primero obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta r. Para ello haremos el cambio y=2\lambda y sustituimos en las ecuaciones implícitas:

\left\{\begin{array}{lcc}2x-6\lambda&=&4\\2x-6\lambda-z&=&0\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{lcc}2x&=&4+6\lambda\\2x-z&=&6\lambda\end{array}\right.

de donde:

r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=2+3\lambda\\y=2\lambda\\z=4\end{array}\right.

De aquí obtenemos fácilmente un punto de r y su vector director: P_r=(2,0,4),\,\vec v_r=(3,2,0).

Del eje OX, un punto y su vector director son O=(0,0,0),\,\vec\imath=(1,0,0).

Estudiemos la posición relativa de ambas rectas, para ello en primer lugar calculamos el \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec\imath\end{pmatrix}:

\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec\imath\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2&0\\1&0&0\end{pmatrix}

El rango de esta matriz es 2 ya que \begin{vmatrix}3&2\\1&0\end{vmatrix}\neq0. Este resultado descarta que ambas rectas sean coincidentes o paralelas.

En segundo lugar calculamos el \mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec\imath\\\overrightarrow{OP_r}\end{pmatrix}, siendo \overrightarrow{OP_r}=(2,0,4):

\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec\imath\\\overrightarrow{OP_r}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2&0\\1&0&0\\2&0&4\end{pmatrix}

cuyo determinante es distinto de 0. Por tanto, el rango de \begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec\imath\\\overrightarrow{OP_r}\end{pmatrix} es 3 y las dos rectas se cruzan.

Calculamos ahora la distancia de dos rectas que se cruzan utilizando la siguiente fórmula:

\boxed{d(r,OX)=\dfrac{|[\vec v_r,\vec\imath,\overrightarrow{OP_r}]|}{|\vec v_r\times\vec\imath|}}

[\vec v_r,\vec\imath,\overrightarrow{OP_r}]=\begin{vmatrix}3&2&0\\1&0&0\\2&0&4\end{vmatrix}=-8

\vec v_r\times\vec\imath=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\3&2&0\\1&0&0\end{vmatrix}=-2\vec k=(0,0,-2)

|\vec v_r\times\vec\imath|=\sqrt{0^2+0^2+(-2)^2}=2

Por tanto:

d(r,OX)=\dfrac{|-8|}2=4\mbox{ u.l.}

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