Problema 240

Calcula de manera razonada la distancia del eje OX a la recta r de ecuaciones

$\left\{\begin{array}{lcc}2x-3y&=&4\\2x-3y-z&=&0\end{array}\right.$

Solución:

En primer lugar vamos a estudia la posición relativa de ambas rectas para saber que fórmula de la distancia utilizar.

Primero obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta r. Para ello haremos el cambio $y=2\lambda$ y sustituimos en las ecuaciones implícitas:

$\left\{\begin{array}{lcc}2x-6\lambda&=&4\\2x-6\lambda-z&=&0\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{lcc}2x&=&4+6\lambda\\2x-z&=&6\lambda\end{array}\right.$

de donde:

$r\equiv\left\{\begin{array}{l}x=2+3\lambda\\y=2\lambda\\z=4\end{array}\right.$

De aquí obtenemos fácilmente un punto de r y su vector director: $P_r=(2,0,4),\,\vec v_r=(3,2,0)$ .

Del eje OX, un punto y su vector director son $O=(0,0,0),\,\vec\imath=(1,0,0)$ .

Estudiemos la posición relativa de ambas rectas, para ello en primer lugar calculamos el $\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec\imath\end{pmatrix}$ :

$\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec\imath\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2&0\\1&0&0\end{pmatrix}$

El rango de esta matriz es 2 ya que $\begin{vmatrix}3&2\\1&0\end{vmatrix}\neq0$ . Este resultado descarta que ambas rectas sean coincidentes o paralelas.

En segundo lugar calculamos el $\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec\imath\\\overrightarrow{OP_r}\end{pmatrix}$ , siendo $\overrightarrow{OP_r}=(2,0,4)$ :

$\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec\imath\\\overrightarrow{OP_r}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2&0\\1&0&0\\2&0&4\end{pmatrix}$

cuyo determinante es distinto de 0. Por tanto, el rango de $\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec\imath\\\overrightarrow{OP_r}\end{pmatrix}$ es 3 y las dos rectas se cruzan.