Problema 241

Sea la función f:[1,e]\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=x^2-8\ln(x) donde ln denota la función logaritmo neperiano.

a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

b) Calcula los extremos absolutos y relativos de la función f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

c) Estudia los intervalos de concavidad y convexidad.


Solución:

a) Para hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, primero calculamos los puntos críticos de f:

f'(x)=2x-\dfrac 8x=0~;\\\\2x=\dfrac 8x~;\\\\x^2=4~;\\\\x=\pm2

A partir de estos puntos críticos y teniendo en cuenta el dominio de la función, construimos la siguiente tabla para estudiar la monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(1,2)&(2,e)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(2,e)
  • Decrece en x\in(1,2)

b) A partir del estudio de la monotonía del apartado anterior, observamos un mínimo absoluto en x=2, cuyo valor es f(2)=2^2-8\ln(2)=4-8\ln(2).

Los máximos se encontrarán en los extremos del dominio.

  • En x=1, f(1)=1
  • En x=e, f(e)=e^2-8

El primero es máximo absoluto: (1,1).


c) Para estudiar la curvatura de una función en primer lugar necesitamos encontrar sus puntos de inflexión:

f''(x)=2+\dfrac 8{x^2}=0~;\\\\2=-\dfrac 8{x^2}~;\\\\x^2=-4

Ecuación que no tiene solución real. Por tanto no tiene puntos de inflexión, y solo utilizaremos el dominio para definir los intervalos donde estudiar la curvatura:

\begin{array}{|c|c|}\hline x&(1,e)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+\\\hline \mbox{Curvatura f(x)}&\mbox{Convexa}\\\hline\end{array}

  • Convexa en x\in(1,e).

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