Sea 
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta 
c) Calcula el área del recinto anterior.
Solución:
a) La ecuación de la recta tangente a una función f en un punto de abscisa 
Nos piden la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisas 
Sustituyendo en la ecuación:
b) Primero representamos la función 
Las soluciones de esta ecuación (
Veamos donde corta al eje y (x=0):
Luego f corta al eje y en: (0,0).
Por otra parte, el estudio de la monotonía de f sería suficiente para poder determinar un esbozo de la gráfica de f. Para estudiar la monotonía tenemos su derivada (
La recta
Con todos estos datos, el esbozo debería salir semejante a la siguiente gráfica:
c) Para calcular el área encerrada por ambas funciones primero debemos obtener donde se cortan. Para ello igualamos las ecuaciones de ambas funciones y resolvemos la ecuación resultante:
Ecuación que, utilizando el método de Ruffini, tiene por soluciones 
Para calcular el área S que encierran ambas funciones hacemos la siguiente integral:
![\displaystyle S=\int_{-2}^1(x^3-4x)-(-x-2)~dx=\int_{-2}^1x^3-3x+2~dx=\\\\=\left[\frac{x^4}4-\frac{3x^2}2+2x\right]_{-2}^1=\left(\frac 14-\frac 32+2\right)-\left(\frac{16}4-\frac{12}2-4\right)=\\\\=\frac 34-(-6)=\frac{27}4\mbox{ u.a.}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+S%3D%5Cint_%7B-2%7D%5E1%28x%5E3-4x%29-%28-x-2%29%7Edx%3D%5Cint_%7B-2%7D%5E1x%5E3-3x%2B2%7Edx%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bx%5E4%7D4-%5Cfrac%7B3x%5E2%7D2%2B2x%5Cright%5D_%7B-2%7D%5E1%3D%5Cleft%28%5Cfrac+14-%5Cfrac+32%2B2%5Cright%29-%5Cleft%28%5Cfrac%7B16%7D4-%5Cfrac%7B12%7D2-4%5Cright%29%3D%5C%5C%5C%5C%3D%5Cfrac+34-%28-6%29%3D%5Cfrac%7B27%7D4%5Cmbox%7B+u.a.%7D&bg=ffffff&fg=141412&s=0&c=20201002 "\displaystyle S=\int_{-2}^1(x^3-4x)-(-x-2)~dx=\int_{-2}^1x^3-3x+2~dx=\\\\=\left[\frac{x^4}4-\frac{3x^2}2+2x\right]_{-2}^1=\left(\frac 14-\frac 32+2\right)-\left(\frac{16}4-\frac{12}2-4\right)=\\\\=\frac 34-(-6)=\frac{27}4\mbox{ u.a.}")
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