Sea la función definida por
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1.
b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta , determinando los puntos de corte de ambas gráficas.
c) Calcula el área del recinto anterior.
Solución:
a) La ecuación de la recta tangente a una función f en un punto de abscisa es:
Nos piden la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisas , luego:
Sustituyendo en la ecuación:
b) Primero representamos la función . Veamos donde corta al eje x (y=0):
Las soluciones de esta ecuación () nos dan los puntos de corte con el eje x: (0,0), (2,0), (-2,0).
Veamos donde corta al eje y (x=0):
Luego f corta al eje y en: (0,0).
Por otra parte, el estudio de la monotonía de f sería suficiente para poder determinar un esbozo de la gráfica de f. Para estudiar la monotonía tenemos su derivada () cuyas raíces son
. Teniendo en cuenta que el dominio de f es
, construimos la siguiente tabla de monotonía:
La recta es la recta tangente del apartado anterior. Pasa por el punto (1,-3) donde es tangente a f, y también pasa por el punto (0,-2).
Con todos estos datos, el esbozo debería salir semejante a la siguiente gráfica:
c) Para calcular el área encerrada por ambas funciones primero debemos obtener donde se cortan. Para ello igualamos las ecuaciones de ambas funciones y resolvemos la ecuación resultante:
Ecuación que, utilizando el método de Ruffini, tiene por soluciones .
Para calcular el área S que encierran ambas funciones hacemos la siguiente integral:
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