Problema 242

Análisis matemático II, Aplicaciones de la integral II, Selectividad Mat II

Sea f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R la función definida por f(x)=x^3-4x

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x=1.

b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y=-x-2, determinando los puntos de corte de ambas gráficas.

c) Calcula el área del recinto anterior.

Solución:

a) La ecuación de la recta tangente a una función f en un punto de abscisa x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

Nos piden la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisas x_0=1, luego:

f(1)=1^3-4\cdot 1=-3\\\\f'(x)=3x^2-4\longrightarrow f'(1)=3-4=-1

Sustituyendo en la ecuación:

y-(-3)=(-1)(x-1)~;\\\\y=-x+1-3~;\\\\y=-x-2

b) Primero representamos la función f(x)=x^3-4x. Veamos donde corta al eje x (y=0):

0=x^3-4x~;\\\\0=x(x^2-4)

Las soluciones de esta ecuación (x=0,\,x=2,\,x=-2) nos dan los puntos de corte con el eje x: (0,0), (2,0), (-2,0).

Veamos donde corta al eje y (x=0):

y=0^3-4\cdot 0=0

Luego f corta al eje y en: (0,0).

Por otra parte, el estudio de la monotonía de f sería suficiente para poder determinar un esbozo de la gráfica de f. Para estudiar la monotonía tenemos su derivada (f'(x)=3x^2-4) cuyas raíces son x=\pm\sqrt{\frac 43}. Teniendo en cuenta que el dominio de f es \mathbb R, construimos la siguiente tabla de monotonía:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-\sqrt{\frac 43})&(-\sqrt{\frac 43},\sqrt{\frac 43})&(\sqrt{\frac 43},+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Monotonia f(x)}&\mbox{Crece}&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

La recta y=-x-2 es la recta tangente del apartado anterior. Pasa por el punto (1,-3) donde es tangente a f, y también pasa por el punto (0,-2).

Con todos estos datos, el esbozo debería salir semejante a la siguiente gráfica:

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c) Para calcular el área encerrada por ambas funciones primero debemos obtener donde se cortan. Para ello igualamos las ecuaciones de ambas funciones y resolvemos la ecuación resultante:

x^3-4x=-x-2~;\\\\x^3-3x+2=0

Ecuación que, utilizando el método de Ruffini, tiene por soluciones x=1,\,x=-2.

Para calcular el área S que encierran ambas funciones hacemos la siguiente integral:

\displaystyle S=\int_{-2}^1(x^3-4x)-(-x-2)~dx=\int_{-2}^1x^3-3x+2~dx=\\\\=\left[\frac{x^4}4-\frac{3x^2}2+2x\right]_{-2}^1=\left(\frac 14-\frac 32+2\right)-\left(\frac{16}4-\frac{12}2-4\right)=\\\\=\frac 34-(-6)=\frac{27}4\mbox{ u.a.}

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