Considera el sistema de ecuaciones
a) Clasifícalo según los distintos valores de k.
b) Resuélvelo para el caso k=2.
Solución:
a) Para clasificar un sistema de ecuaciones lineales utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:
Calculamos el determinante de M para calcular su rango:
Determinante que vale 0 si k=0 y k=2. Por tanto:
- Si k≠0 y k≠2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
- Si k=0, la matriz de coeficientes es
cuyo rango es 2 ya que
. Calculemos el rango de la matriz ampliada:
Por tanto, rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.
- Si k=2, la matriz de coeficientes es
cuyo rango es 2 ya que
. Calculemos ahora el rango de la matriz ampliada:
Luego el rg(M*)=2=rg(M)<n. En este caso el sistema es compatible indeterminado.
b) Para el caso k=2, el sistema es compatible indeterminado. El sistema a resolver es el siguiente:
La tercera ecuación se puede omitir ya que es combinación lineal de las otras dos en este caso.
Para resolver el sistema hacemos el cambio z=λ:
Resolveremos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando la regla de Cramer:
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