Problema 243

Considera el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&(k+1)y&+&2z&=&-1\\kx&+&y&+&z&=&2\\x&-&2y&-&z&=&k+1\end{array}\right.

a) Clasifícalo según los distintos valores de k.

b) Resuélvelo para el caso k=2.


Solución:

a) Para clasificar un sistema de ecuaciones lineales utilizamos el teorema de Rouché-Fröbenius. Comenzamos por escribir las matrices de coeficientes y ampliada:

M=\begin{pmatrix}1&k+1&2\\k&1&1\\1&-2&-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}1&k+1&2&-1\\k&1&1&2\\1&-2&-1&k+1\end{pmatrix}

Calculamos el determinante de M para calcular su rango:

\begin{vmatrix}1&k+1&2\\k&1&1\\1&-2&-1\end{vmatrix}=-1+k+1-4k-2+k(k+1)+2=-3k+k^2+k=k^2-2k

Determinante que vale 0 si k=0 y k=2. Por tanto:

  • Si k≠0 y k≠2, entonces rg(M)=3=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si k=0, la matriz de coeficientes es \begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\\1&-2&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}\neq0. Calculemos el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&1&-1\\0&1&2\\1&-2&1\end{vmatrix}=1+2+1+4\neq0

Por tanto, rg(M*)=3, y el sistema es incompatible.

  • Si k=2, la matriz de coeficientes es \begin{pmatrix}1&3&2\\2&1&1\\1&-2&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 2 ya que \begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}=-5\neq0. Calculemos ahora el rango de la matriz ampliada:

\begin{vmatrix}1&3&-1\\2&1&2\\1&-2&3\end{vmatrix}=3+6+4+1-18+4=0

Luego el rg(M*)=2=rg(M)<n. En este caso el sistema es compatible indeterminado.


b) Para el caso k=2, el sistema es compatible indeterminado. El sistema a resolver es el siguiente:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&3y&+&2z&=&-1\\2x&+&y&+&z&=&2\end{array}\right.

La tercera ecuación se puede omitir ya que es combinación lineal de las otras dos en este caso.

Para resolver el sistema hacemos el cambio z=λ:

\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&3y&+&2z&=&-1\\2x&+&y&+&z&=&2\end{array}\right.\longrightarrow\left\{\begin{array}{ccccc}x&+&3y&=&-1-2\lambda\\2x&+&y&=&2-\lambda\end{array}\right.

Resolveremos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando la regla de Cramer:

x=\dfrac{\begin{vmatrix}-1-2\lambda&3\\2-\lambda&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}}=\dfrac{-1-2\lambda-6+3\lambda}{-5}=\dfrac{-7+\lambda}{-5}

y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&-1-2\lambda\\2&2-\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&3\\2&1\end{vmatrix}}=\dfrac{2-\lambda+2+4\lambda}{-5}=\dfrac{4+3\lambda}{-5}

z=\lambda

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