Problema 244

Geometría II, Rectas y planos en el espacio II, Selectividad Mat II

Dadas las rectas

r\equiv\dfrac{x+3}{-6}=\dfrac{y-9}4=\dfrac{z-8}4\qquad s\equiv\dfrac{x-3}3=\dfrac{y-9}{-2}=\dfrac{z-8}{-2}

a) Determina la posición relativa de las rectas r y s.

b) Calcula la distancia entre r y s.

Solución:

a) Para determinar la posición relativa de dos rectas en el espacio, necesitamos un punto cualquiera de r y de s, así como sus vectores directores:

P_r=(-3,9,8),~\vec v_r=(-6,4,4)\\\\P_s=(3,9,8),~\vec v_s=(3,-2,-2)

Necesitamos calcular \overrightarrow{P_rP_s}:

\overrightarrow{P_rP_s}=(3,9,8)-(-3,9,8)=(6,0,0)

Calculamos los rangos de las siguientes matrices:

\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}-6&4&4\\3&-2&-2\end{pmatrix}=1

ya que la segunda fila es proporcional a la primera.

\mbox{rg}\begin{pmatrix}\vec v_r\\\vec v_s\\\overrightarrow{P_rP_s}\end{pmatrix}=\mbox{rg}\begin{pmatrix}-6&4&4\\3&-2&-2\\6&0&0\end{pmatrix}=2

ya que la segunda fila es proporcional a la primera y \begin{vmatrix}-6&4\\6&0\end{vmatrix}\neq0.

Por tanto, se trata de dos rectas paralelas.

b) La fórmula de la distancia para dos rectas paralelas es:

\boxed{d(r,s)=\dfrac{|\vec v_r\times\overrightarrow{P_rP_s}|}{|\vec v_r|}}

\vec v_r\times\overrightarrow{P_rP_s}=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\-6&4&4\\6&0&0\end{vmatrix}=6(4\vec\jmath-4\vec k)=(0,24,-24)

Luego:

d(r,s)=\dfrac{\sqrt{0^2+24^2+(-24)^2}}{\sqrt{(-6)^2+4^2+4^2}}=\dfrac{\sqrt{2\cdot24^2}}{\sqrt{68}}=\dfrac{24\sqrt2}{2\sqrt{17}}=12\sqrt{\dfrac 2{17}}\mbox{ u.l.}

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