Sea la función definida por
a) Calcula y
b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.
c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de f.
Solución:
a) Nos piden calcular los siguientes límites:
Esta indeterminación (0·∞) se resuelve escribiendo el producto como fracción :
Esta indeterminación se resuelve utilizando la regla de L’Hôpital:
b) Para calcular los extremos relativos primero calculamos los puntos críticos:
Ecuaciones cuyas soluciones son: x=0 y x=-1. En estos valores, la función vale: .
Para saber si estos puntos críticos son máximos o mínimos utilizamos el test de la derivada segunda:
Esto quiere decir que el punto (0,1) es un mínimo, y el punto es un máximo.
c) Calculamos solo las abscisas de los puntos de inflexión:
Las soluciones de esta ecuación son: . Para que se consideren puntos de inflexión, en esos puntos debe cambiar la curvatura. Veámoslo en la siguiente tabla:
Luego ambos puntos son de inflexión.
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