Problema 245

Sea la función f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por f(x)=e^x(x^2-x+1)

a) Calcula \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) y \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)

b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.

c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de f.


Solución:

a) Nos piden calcular los siguientes límites:

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}e^x(x^2-x+1)=e^{-\infty}(+\infty)=\overbrace{0\cdot\infty}^{IND}

Esta indeterminación (0·∞) se resuelve escribiendo el producto como fracción \left(a\cdot b=\frac b{1/a}=\frac a{1/b}\right):

\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}e^x(x^2-x+1)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2-x+1}{e^{-x}}=\frac{\infty}{e^{+\infty}}=\overbrace{\frac{\infty}{\infty}}^{IND}

Esta indeterminación \frac{\infty}{\infty} se resuelve utilizando la regla de L’Hôpital:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x^2-x+1}{e^{-x}}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x-1}{-e^{-x}}=\frac{\infty}{\infty}=\\\\\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2}{e^{-x}}=\frac 2{+\infty}=0

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}e^x(x^2-x+1)=e^{+\infty}(+\infty)=+\infty\cdot(+\infty)=+\infty

b) Para calcular los extremos relativos primero calculamos los puntos críticos:

f'(x)=e^x(x^2-x+1)+e^x(2x-1)=e^x(x^2+x)=xe^x(x+1)=0

Ecuaciones cuyas soluciones son: x=0 y x=-1. En estos valores, la función vale: f(0)=1,~f(-1)=\frac 3e.

Para saber si estos puntos críticos son máximos o mínimos utilizamos el test de la derivada segunda:

f''(x)=e^x(x^2+x)+e^x(2x+1)=e^x(x^2+3x+1)\\\\\bullet~f''(0)=1>0\\\\\bullet~f''(-1)=\frac{-1}e<0

Esto quiere decir que el punto (0,1) es un mínimo, y el punto (-1,\frac 3e) es un máximo.


c) Calculamos solo las abscisas de los puntos de inflexión:

f''(x)=e^x(x^2+3x+1)=0

Las soluciones de esta ecuación son: x=\dfrac{-3+\sqrt5}2,~x=\dfrac{-3-\sqrt5}2. Para que se consideren puntos de inflexión, en esos puntos debe cambiar la curvatura. Veámoslo en la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,\frac{-3-\sqrt5}2)&(\frac{-3-\sqrt5}2,\frac{-3+\sqrt5}2)&(\frac{-3+\sqrt5}2,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f''(x)&+&-&+\\\hline \mbox{Curvatura }f(x)&\mbox{Convexa}&\mbox{Concava}&\mbox{Convexa}\\\hline\end{array}

Luego ambos puntos son de inflexión.

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