Problema 246

Sean f,g:\mathbb R\rightarrow\mathbb R las funciones definidas por f(x)=x^2-2x y g(x)=-x^2+4x respectivamente.

a) Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.

b) Calcula el área de dicho recinto.


Solución:

a) Ambas son dos funciones elementales, concretamente dos funciones cuadráticas cuyas gráficas son parábolas. La función f(x)=x^2-2x corresponde a una parábola convexa mientras que g(x)=-x^2+4x es cóncava.

Veamos donde f(x)=x^2-2x corta al eje x (y=0):

0=x^2-2x~;\\\\0=x(x-2)

Corta al eje x en (0,0) y (2,0).

Veamos donde g(x)=-x^2+4x corta al eje x (y=0):

0=-x^2+4x~;\\\\x(-x+4)=0

Corta al eje x en (0,0) y (4,0)

Veamos por último donde se cortan ambas gráficas:

x^2-2x=-x^2+4x~;\\\\2x^2-6x=0~;\\\\2x(x-3)=0

Ambas gráficas se cortan en los puntos (0,0) y (3,3).

Con todos estos datos podemos hacer un esbozo semejante a la siguiente gráfica:

p246


b) El área S de la región limitada por ambas funciones es la zona sombreada, y su valor se calcula con la siguiente integral:

\displaystyle S=\int_0^3(-x^2+4x)-(x^2-2x)~dx=\int_0^3-2x^2+6x~dx=\\\\=\left[\frac{-2x^3}3+3x^2\right]_0^3=(-18+27)-(0)=9\mbox{ u.a.}

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