Problema 247

Encuentra la matriz X que satisface la ecuación XA+A^3B=A, siendo

A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\qquad B=\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&2&-1\\-1&0&2\end{pmatrix}


Solución:

Comenzamos por despejar de la ecuación a la matriz X:

XA+A^3B=A~;\\\\XA=A-A^3B~;\\\\XA=A(I-A^2B)~;\\\\X=A(I-A^2B)A^{-1}

Calculamos los elementos necesarios para obtener X:

A^2=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=I

I-A^2B=I-B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&2&-1\\-1&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}

A(I-A^2B)=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix}

Ahora calculamos la matriz inversa de A utilizando la fórmula:

\boxed{A^{-1}=\dfrac 1{|A|}(\mbox{Adj}A)^t}

|A|=\begin{vmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{vmatrix}=-1

\mbox{Adj}A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}

A^{-1}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}

Por último:

X=\underbrace{\begin{pmatrix}1&0&-1\\0&-1&1\\-1&1&0\end{pmatrix}}_{A(I-A^2B)}\underbrace{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}_{A^{-1}}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{pmatrix}

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