Problema 248

Los puntos A(1,1,5) y B(1,1,2) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C, consecutivo de B, está en la recta x=\dfrac{y-6}{-2}=\dfrac{z+1}2. Determina los vértices C y D.


Solución:

La recta escrita en forma paramétrica es:

\left\{\begin{array}{l}x=\lambda\\y=6-2\lambda\\z=-1+2\lambda\end{array}\right.

El punto C pertenece a esta recta, por tanto, sus coordenadas son: C=(\lambda,6-2\lambda,-1+2\lambda)

p88

Por otra parte, el vértice C es el consecutivo de B, y como la figura es un rectángulo, entre el lado AB y el lado BC, se forma un ángulo de 90º. Por tanto:

\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{BC}\leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0

\overrightarrow{AB}=(1,1,2)-(1,1,5)=(0,0,-3)\\\\\overrightarrow{BC}=(\lambda,6-2\lambda,-1+2\lambda)-(1,1,2)=(\lambda-1,5-2\lambda,-3+2\lambda)

Imponemos que estos dos vectores sean perpendiculares:

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=(0,0,-3)\cdot(\lambda-1,5-2\lambda,-3+2\lambda)=-3(-3+2\lambda)=0

Ecuación cuya solución es \lambda=\frac 32, y, por tanto, C=(\frac 32,3,2).

Calculamos ahora el punto D=(a,b,c) sabiendo que \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}.

\overrightarrow{DC}=(\frac 32,3,2)-(a,b,c)=(\frac 32-a,3-b,2-c)

Imponemos la igualdad antes mencionada y resolvemos:

(\frac 32-a,3-b,2-c)=(0,0,-3)

  • De \frac 32-a=0 se obtiene a=\frac 32.
  • De 3-b=0 se obtiene que b=3
  • De 2-c=-3 se obtiene que c=5

Por tanto, el vértice D=(\frac 32,3,5).

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