Problema 249

Sea la función continua f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R definida por

f(x)=\left\{\begin{array}{lc}x+k&\mbox{si }x\leq 0\\\\\dfrac{e^{x^2}-1}{x^2}&\mbox{si }x>0\end{array}\right.

a) Calcula el valor de k.

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x=1.


Solución:

a) Para que f sea continua en x=0, ha de ser \displaystyle f(0)=\lim_{x\rightarrow0}f(x):

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{e^{x^2}-1}{x^2}=\dfrac 00\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow0^+}\dfrac{e^{x^2}2x}{2x}=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{x^2}=1

Recordando que esta indeterminación del tipo 0/0 se ha resuelto utilizando la regla de L’Hôpital.

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow0^-}x+k=k
  • f(0)=0+k=k

Entonces para que f sea continua en x=0, ha de ser k=1.


b) La ecuación de la recta tangente a una función f en un punto x=x_0 es:

\boxed{y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)}

En nuestro caso x_0=1:

f(1)=\dfrac{e^{1^2}-1}{1^2}=e-1\\\\f'(x)=\dfrac{e^{x^2}2x\cdot x^2-(e^{x^2}-1)2x}{x^4}=2\dfrac{e^{x^2}(x^2-1)+1}{x^3}\\\\f'(1)=2\dfrac{e^{1^2}(1^2-1)+1}{1^3}=2

La ecuación de la recta buscada es:

y-(e-1)=2(x-1)~;\\\\y=2x-2+e-1~;\\\\\boxed{y=2x+e-3}

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión /  Cambiar )

Google photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google. Cerrar sesión /  Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión /  Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión /  Cambiar )

Conectando a %s