Problema 250

Sea \displaystyle I=\int_0^1\frac x{1+\sqrt{1-x}}~dx

a) Expresa la integral I aplicando el cambio de variable t=\sqrt{1-x}

b) Calcula el valor de I.


Solución:

a) Dado el cambio de variable sugerido, calculamos los elementos necesarios:

t=\sqrt{1-x}\rightarrow t^2=1-x\\\\x=1-t^2\rightarrow dx=-2t~dt\\\\x=0\rightarrow t=\sqrt{1-0}=1\\\\x=1\rightarrow t=\sqrt{1-1}=0

Aplicamos ya el cambio de variable y simplificamos:

\displaystyle I=\int_0^1\frac x{1+\sqrt{1-x}}~dx=\int_1^0\frac{1-t^2}{1+t}~(-2t)~dt=\\\\=\int_1^0\frac{(1-t)(1+t)(-2t)}{1+t}~dt=\int_1^0(1-t)(-2t)~dt=\int_1^0-2t+2t^2~dt


b) Solo hemos de aplicar la regla de Barrow:

\displaystyle \int_1^0-2t+2t^2~dt=\left[-t^2+\frac{2t^3}3\right]_1^0=\\\\=(0)-\left(-1+\frac 23\right)=\frac 13

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