Problema 251

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas

\left\{\begin{array}{ccccc}kx&+&2y&=&2\\2x&+&ky&=&k\\x&-&y&=&-1\end{array}\right.

a) Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k.

b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado.

c) Halla las soluciones en cada caso.


Solución:

a) Según el teorema de Rouché-Fröbenius un sistema es compatible siempre que el rango de la matriz de coeficientes sea igual que el rango de la matriz ampliada. Escribimos ambas matrices:

M=\begin{pmatrix}k&2\\2&k\\1&-1\end{pmatrix}\qquad M^*=\begin{pmatrix}k&2&2\\2&k&k\\1&-1&-1\end{pmatrix}

Observamos que la matriz ampliada tiene dos columnas iguales, por lo que su determinante será 0 independientemente de k. Esto implica que su rango será igual que el de M, y por tanto el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k: rg(M)=rg(M*) para todo k.


b) Estudiemos el rango de M en función de los valores del parámetro k.

\begin{vmatrix}k&2\\2&k\end{vmatrix}=k^2-4

determinante que vale 0 para k=2 o k=-2:

  • Si k≠2 y k≠-2 entonces el rg(M)=2=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
  • Si k=2, entonces M=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\\1&-1\end{pmatrix} y su rango es 2 ya que \begin{vmatrix}2&2\\1&-1\end{vmatrix}\neq0, y por el mismo motivo que antes, el sistema es compatible determinado.
  • Si k=-2, entonces M=\begin{pmatrix}-2&2\\2&-2\\1&-1\end{pmatrix} cuyo rango es 1, ya que la segunda columna es proporcional a la primera. El sistema es compatible indeterminado ya que rg(M)=1=rg(M*)<n.

c) Resolvemos primero el sistema para el caso k≠-2 que resultaba ser un sistema compatible determinado. El sistema tiene rango 2 y por tanto, el sistema a resolver sería equivalente a:

\left\{\begin{array}{ccccc}2x&+&ky&=&k\\x&-&y&=&-1\end{array}\right.

Sistema que resolvemos despejando x de la segunda ecuación: x=-1+y, y sustituyendo en la primera ecuación:

2(-1+y)+ky=k~;\\\\-2+2y+ky=k~;\\\\(2+k)y=k+2~;\\\\y=1

de donde x=-1+1=0. Luego la solución en este caso es (x,y)=(0,1).

  • Caso k=-2:

En este caso el rango era 1, por tanto, el sistema equivalente es el de una única ecuación, por ejemplo la última:

\left\{\begin{array}{ccccc}x&-&y&=&-1\end{array}\right.

Para resolver este sistema compatible indeterminado hacemos el cambio y=λ. De donde x=-1+\lambda, y ya tenemos la solución del sistema en este caso: (x,y)=(-1+λ,λ).

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