Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas

a) Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k.

b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado.

c) Halla las soluciones en cada caso.

Solución:

a) Según el teorema de Rouché-Fröbenius un sistema es compatible siempre que el rango de la matriz de coeficientes sea igual que el rango de la matriz ampliada. Escribimos ambas matrices:

Observamos que la matriz ampliada tiene dos columnas iguales, por lo que su determinante será 0 independientemente de k. Esto implica que su rango será igual que el de M, y por tanto el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k: rg(M)=rg(M*) para todo k.

b) Estudiemos el rango de M en función de los valores del parámetro k.

determinante que vale 0 para k=2 o k=-2:

• Si k≠2 y k≠-2 entonces el rg(M)=2=rg(M*)=n, y el sistema es compatible determinado.
• Si k=2, entonces y su rango es 2 ya que , y por el mismo motivo que antes, el sistema es compatible determinado.
• Si k=-2, entonces cuyo rango es 1, ya que la segunda columna es proporcional a la primera. El sistema es compatible indeterminado ya que rg(M)=1=rg(M*)<n.

c) Resolvemos primero el sistema para el caso k≠-2 que resultaba ser un sistema compatible determinado. El sistema tiene rango 2 y por tanto, el sistema a resolver sería equivalente a:

Sistema que resolvemos despejando x de la segunda ecuación: , y sustituyendo en la primera ecuación:

de donde . Luego la solución en este caso es .

• Caso k=-2:

En este caso el rango era 1, por tanto, el sistema equivalente es el de una única ecuación, por ejemplo la última:

Para resolver este sistema compatible indeterminado hacemos el cambio y=λ. De donde , y ya tenemos la solución del sistema en este caso: (x,y)=(-1+λ,λ).

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