Problema 252

Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-2) y D(1,2,0).

a) Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C.

b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.

c) Calcula la distancia del punto D al plano π.


Solución:

a) El plano π buscado está formado por los elementos (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}):

A=(0,0,1)\\\\\overrightarrow{AB}=(1,0,-1)-(0,0,1)=(1,0,-2)\\\\\overrightarrow{AC}=(0,1,-2)-(0,0,1)=(0,1,-3)

Calculamos así la ecuación general del plano:

\begin{vmatrix}x&y&z-1\\1&0&-2\\0&1&-3\end{vmatrix}=z-1+3y+2x=2x+3y+z-1

El plano buscado es \pi:~ 2x+3y+z-1=0


b) Los tres primeros puntos son coplanarios pues están dentro del plano π calculado antes.

Veamos si el punto D está dentro del plano π sustituyendo sus coordenadas dentro de la ecuación implícita del plano. Si se verifica la ecuación significará que está dentro del plano y todos los puntos son coplanarios, si no se verifica es porque D no está dentro del plano y por tanto, los cuatro puntos no son coplanarios.

2\cdot 1+3\cdot 2+0-1=0~;\\\\2+6-1=0~;\\\\7=0

Como el resultado es falso quiere decir que D no pertenece al plano π y por tanto, los cuatro puntos no son coplanarios.


c) Como vimos antes, el punto D está fuera del plano a cierta distancia de π. Nos piden dicha distancia. La distancia de un punto P=(x_0,y_0,z_0) a un plano \pi:Ax+By+Cz+D=0 se calcula con la siguiente fórmula:

\boxed{d(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}

En nuestro caso:

d(D,\pi)=\dfrac{|2\cdot1+3\cdot 2+0-1|}{\sqrt{2^2+3^2+0^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{13}}\mbox{ u.l.}

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