Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-2) y D(1,2,0).
a) Halla la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C.
b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.
c) Calcula la distancia del punto D al plano π.
Solución:
a) El plano π buscado está formado por los elementos :
Calculamos así la ecuación general del plano:
El plano buscado es
b) Los tres primeros puntos son coplanarios pues están dentro del plano π calculado antes.
Veamos si el punto D está dentro del plano π sustituyendo sus coordenadas dentro de la ecuación implícita del plano. Si se verifica la ecuación significará que está dentro del plano y todos los puntos son coplanarios, si no se verifica es porque D no está dentro del plano y por tanto, los cuatro puntos no son coplanarios.
Como el resultado es falso quiere decir que D no pertenece al plano π y por tanto, los cuatro puntos no son coplanarios.
c) Como vimos antes, el punto D está fuera del plano a cierta distancia de π. Nos piden dicha distancia. La distancia de un punto a un plano
se calcula con la siguiente fórmula:
En nuestro caso:
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