Problema 253

Sea la función f definida por f(x)=\dfrac{e^{-x}}{1-x} para x\neq1.

a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f.

b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.


Solución:

a) Nos piden estudiar todas las asíntotas de f:

  • Asíntota vertical:

Si esta función tiene asíntota será en x=1. Veámoslo:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow1^+}\dfrac{e^{-x}}{1-x}=\dfrac{1/e}{0^-}=-\infty\\\\\lim_{x\rightarrow1^-}\dfrac{e^{-x}}{1-x}=\dfrac{1/e}{0^+}=+\infty

Por tanto, x=1 es una asíntota vertical.

  • Asíntota horizontal:

\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^{-x}}{1-x}=\dfrac{0^+}{-\infty}=0^-\\\\\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{e^{-x}}{1-x}=\underbrace{\dfrac{+\infty}{+\infty}}_{IND}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{-e^{-x}}{-1}=\dfrac{-\infty}{-1}=+\infty

habiendo resuelto la indeterminación \frac{\infty}{\infty} utilizando la regla de L’Hôpital.

Cuando x→+∞, sí tiene asíntota horizontal cuya ecuación es y=0. Cuando x→-∞, no tiene asíntota horizontal, por lo que podría tener asíntota oblicua en ese caso.

  • Asíntota oblicua:

\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{e^{-x}}{x(1-x)}=\underbrace{\dfrac{+\infty}{-\infty}}_{IND}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{-e^{-x}}{1-2x}=\underbrace{\dfrac{-\infty}{+\infty}}_{IND}\overset{L'H}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^{-x}}{-2}=\frac{+\infty}{-2}=-\infty

No tiene, por tanto, asíntota oblicua.


b) Estudiamos la monotonía. Primero calculamos los puntos críticos de f:

f'(x)=\dfrac{-e^{-x}(1-x)-e^{-x}(-1)}{(1-x)^2}=\dfrac{e^{-x}(-1+x+1)}{(1-x)^2}=\dfrac{xe^{-x}}{(1-x)^2}=0

Ecuación cuya única solución es x=0.

Con este punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de f, construimos la siguiente tabla:

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,1)&(1,+\infty)\\\hline\mbox{Signo }f'(x)&-&+&+\\\hline \mbox{Monotonia }f(x)&\mbox{Decrece}&\mbox{Crece}&\mbox{Crece}\\\hline\end{array}

  • Crece en x\in(0,1)\cup(1,+\infty)
  • Decrece en x\in(-\infty,0)

En x=0 observamos un mínimo relativo de valor f(0)=1.

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