Sea la función f definida por para
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a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f.
b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
Solución:
a) Nos piden estudiar todas las asíntotas de f:
- Asíntota vertical:
Si esta función tiene asíntota será en x=1. Veámoslo:
Por tanto, x=1 es una asíntota vertical.
- Asíntota horizontal:
habiendo resuelto la indeterminación utilizando la regla de L’Hôpital.
Cuando x→+∞, sí tiene asíntota horizontal cuya ecuación es y=0. Cuando x→-∞, no tiene asíntota horizontal, por lo que podría tener asíntota oblicua en ese caso.
- Asíntota oblicua:
No tiene, por tanto, asíntota oblicua.
b) Estudiamos la monotonía. Primero calculamos los puntos críticos de f:
Ecuación cuya única solución es x=0.
Con este punto crítico y teniendo en cuenta el dominio de f, construimos la siguiente tabla:
- Crece en
- Decrece en
En x=0 observamos un mínimo relativo de valor .
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